Límite de valores esperados

Question

Deje que$(\Omega,\mathcal{F},P)$ sea un espacio de probabilidad.

Sea$\{X_n : n \geq 1 \}$ una secuencia de variables aleatorias independientes. PS

Demuestre que para cualquier$$E(X_n) = 0 \; , \; Var(X_n) = 1 \; \; \forall n $ es necesariamente cierto que$Y \in L^2$ $

Atrapado en este problema. Intenté utilizar la convergencia dominada, pero no pude probar el límite puntual ni encontrar una función dominante. ¿Es este el enfoque equivocado?

Answer 1

Esto es esencialmente un problema sobre la teoría del espacio de Hilbert. Primero, tenga en cuenta que la independencia produce $$ \ Bbb {E} (X_n X_m) = \ Bbb {E} (X_n) \ Bbb {E} (X_m) = 0 $$ para$n \neq m $. En combinación con su suposición de variación, vemos que$(X_n)_n $ es un sistema ortonormal en$L^2$.

Ahora, la desigualdad de Bessel establece que $$ \ sum_n | \ Bbb {E} (X_n Y) | ^ 2 \ leq \ Vert Y \ Vert_ {L ^ 2} ^ 2 $$ para$Y \in L^2$.

¿Puedes tomarlo desde aquí?