$\triangledown_{X_{p}}Y$ en realidad depende solo de los valores de$Y$ a lo largo de cualquier curva tangente a$X_{p}$

Question

Estoy leyendo a John Lee de Riemann Colectores de donde me encontré con el siguiente ejercicio de lectura:

Mejorar el Lema 4.1, mostrando que $\triangledown_{X_{p}}Y$ realmente sólo depende de los valores de $Y$ a lo largo de cualquier curva tangente a $X_{p}$. Más precisamente, supongamos que $\gamma: (-\epsilon, \epsilon) \rightarrow M$ es una curva con $\gamma(0)=p$$\gamma'(0)=X_{p}$, y supongamos que $Y$ $\tilde{Y}$ son campos vectoriales que de acuerdo a lo largo de $\gamma$. Mostrar que $\triangledown_{X_{p}}Y = \triangledown_{X_{p}}\tilde{Y}$

Aquí estamos tomando $M$ a ser un suave colector y $\triangledown$ a ser una conexión directa. Lema $4.1$, esencialmente, nos indica que el campo de vectores, $\triangledown_{X}Y$ se determina localmente por $Y$ y pointwise por $X$. La linealidad de la conexión, espero mostrar que si $Y=0$ a lo largo de $\gamma$$\triangledown_{X_{p}}Y=0$.

Anteriormente en el texto, la noción de covariante derivados de campos vectoriales a lo largo de las curvas se discutieron, en particular, se mencionó que cuando el campo de vectores $V$ a lo largo de una curva es extensible, entonces para cualquier extensión de $\tilde{V}$,$D_{t}V(t)=\triangledown_{\gamma'(t)}\tilde{V}$, en cuyo caso tenemos una fórmula para $D_{t}V(t)$. Estoy un poco confundida sobre cómo involucrar a este.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Recuerde la fórmula local para$\nabla_XY$:

$$\nabla_XY=(x^i \partial_i y^k+x^iy^j \Gamma_{i,j}^k)\partial_k.$ $ Dado$\gamma$ una ruta local que pasa por el punto$p$ en$0$ con el vector tangente$x^ie_i$, tenemos$$x^i \partial_i y^k=(y^k \circ \gamma)'(0) $ $ por la cadena regla. Como el resto de los términos son solo evaluaciones, se deduce que solo necesitamos los valores de$Y$ en la ruta$\gamma$.