Producto de copa simplificada y orientabilidad.

Question

Una forma de definir el producto taza en un complejo simplicial finito $K$ es la siguiente.

i) Elija un ordenamiento parcial en el conjunto de vértices de $K$ que induce un ordenamiento total en el conjunto de vértices de cualquier simplex. El $p$ -Grupo de cadenas $C_p(K)$ es entonces el grupo abeliano libre en el $p$ -simples de $K$ con vértices enumerados en orden creciente y tiene el diferencial habitual.

ii) El producto copa simplicial $C^p(K) \times C^q(K) \xrightarrow{\cup} C^{p+q}(K)$ viene dada por la fórmula $$(\phi \cup \psi)[v_{i_0},...,v_{i_{p+q}}] = \phi(v_{i_0},...,v_{i_p}) \cdot \psi(v_{i_p},...,v_{i_{p+q}})$$ donde $[v_{i_0},...,v_{i_{p+q}}]$ es un elemento base de $C_{p+q}(K)$ y de nuevo los índices $i_j$ satisfacer $i_0 < i_1 < ... < i_{p+q}$ . A continuación, ampliamos por bilinealidad.

Supongamos, en cambio, que quiero trabajar con una configuración más flexible en cuanto a la ordenación de los vértices. Una forma estándar de hacerlo es la noción de orientación: dos opciones de ordenación de los vértices de un simplex son equivalentes si difieren en una permutación par, y una orientación de un simplex es una elección de una de las dos clases de equivalencia de ordenación de vértices. Si el conjunto de vértices es finito y lo etiquetamos como $\{0,1,..,n\}$ entonces podríamos convenir en que la orientación estándar de cada simplex es aquella en la que los vértices aparecen en orden creciente.

La fórmula anterior para el producto taza ya no estaría bien definida en el nivel de la co-cadena, ya que no necesariamente permanecería invariable bajo permutaciones pares de los vértices $v_{i_0}, v_{i_1}, ... ,v_{i_{p+q}}$ . ¿Existen libros que traten este tema? La mayoría de los libros que he consultado sólo han trabajado con ordenaciones de vértices fijas y las orientaciones más generales.

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Lo siento, quiero decir: La mayoría de los libros que he consultado han trabajado sólo con ordenamientos de vértices fijos y no el enfoque de las orientaciones más generales.

Answer 1

Creo que la solución habitual es definir $$ (\phi\cup\psi)[v_0,\ldots,v_{p+q}] \;=\; \frac{1}{(p+q+1)!}\sum_{\sigma\in S_{p+q+1}} (-1)^\sigma \phi[v_{\sigma(0)},\ldots,v_{\sigma(p)}]\cdot\psi[v_{\sigma(p)},\ldots,v_{\sigma(p+q)}] $$ en el nivel de las co-cadenas, donde $(-1)^\sigma$ denota el signo de la permutación $\sigma$ .