Mi pregunta es muy sencilla y quizás trivial. Aquí está.
¿Es el índice de un subgrupo máximo en un grupo finito siempre un número primo?
Gracias de antemano.
Respuestas
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Si un grupo tiene la propiedad de que todos sus subgrupos máximos tienen índice primo, entonces es soluble; esto se deduce de un teorema de P. Hall.
De hecho, el teorema de Hall llega a esa conclusión si los índices son primos o cuadrados de primos. Un teorema posterior de Huppert afirma que si todos son primos, el grupo es supersoluble.
clintp
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No. El menor contraejemplo que se me ocurre es $A_5$ el grupo alterno en $5$ elementos que tiene el orden $60$ que tiene un subgrupo máximo de orden $10$ y, por tanto, el índice $6$ en $A_5$ (puede encontrar más información aquí ).
Sin embargo, este hace se mantienen para un número finito de abeliano grupos. Para ver esto, utiliza el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos para escribir el grupo abeliano $G$ como $\mathbb{Z}_{p_1^{e_1}}\oplus \mathbb{Z}_{p_2^{e_2}}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{p_n^{e_n}}$ . Cada subgrupo maximal de $G$ contiene todos los grupos menos uno y un subgrupo máximo de $\mathbb{Z}_{p_i^{e_i}}$ para algunos $i$ . Pero los subgrupos máximos de $\mathbb{Z}_{p_i^{e_i}}$ son del orden $p_i^{e_i - 1}$ por lo que el índice de los mismos en $\mathbb{Z}_{p_i^{e_i}}$ es $p_i$ y, por tanto, el índice del subgrupo máximo de $G$ es $p_i$ también.
Nicky Hekster
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Thomas, algunas observaciones triviales adicionales: tu afirmación es correcta para normal máximo subgrupos. (Sin embargo, no es cierto para máximo normal (por ejemplo, el subgrupo identidad es normal máximo en cualquier grupo simple no abeliano)). Y, si cada subgrupo maximal es normal, esto es equivalente a que G sea nilpotente.
Geoff Robinson
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Cabe destacar que en un grupo finito soluble $G$ Todos los subgrupos máximos tienen índice de potencia primo (ya se han dado ejemplos en los comentarios de grupos solubles con subgrupos máximos que no tienen índice primo). No estoy seguro de quién fue la primera persona que demostró esto, pero es bien conocido, y se puede encontrar, por ejemplo, en el libro de D. Gorenstein de D. Gorenstein (su demostración es elemental comparada con muchas de las que aparecen en ese libro). La prueba es la siguiente: sea $M$ sea un subgrupo máximo de $G$ . Podemos suponer que $M$ contiene ningún subgrupo normal no identitario de $G$ (si $K$ es una de ellas, obra en $G/K$ ). Sea $N$ sea un subgrupo normal mínimo de $G$ . Entonces $N$ es un abeliano elemental $q$ -para algún primo $q$ . Ahora $N$ no está contenida en $M$ Así que $NM$ es un subgrupo de $G$ que contiene estrictamente $M$ . Por lo tanto, $NM = G$ . Entonces $[G:M] = [N:N \cap M]$ y esto es un poder de $q$ .
Tenga en cuenta también que si $G$ es un grupo finito soluble con $\Phi(G) = 1$ y $L$ es cualquier subgrupo normal mínimo de $G$ entonces existe un subgrupo máximo $H$ de $G$ con $[G:H] = |L|$ (esto también es conocido). Recordemos que el subgrupo Frattini $\Phi(G)$ es la intersección de todos los subgrupos maximales de $G$ y es normal. De nuevo, $L$ es un abeliano elemental $q$ -para algún primo $q$ . Desde $\Phi(G) = 1$ existe un subgrupo máximo $H$ de $G$ que no contiene $L$ . Entonces $G = LH$ . Además, $L \cap H$ es normal en $G$ (ya que $L$ es abeliana, $L \cap H \lhd L$ y como $L \lhd G$ , también tenemos $L \cap H \lhd H$ ). Pero $L$ no está contenida en $H$ Así que $L \cap H$ es un subgrupo propio de $L$ . Por la minimidad de $L$ como un subgrupo normal de $G$ Debemos tener $L \cap H = 1$ para que $[G:H] = |L|$ .
