La tetración infinita de $-2.5$

Question

Deje que $a_n$ ser la secuencia $z, z^z, z^{z^z} ...$ para $z \in \mathbb {C}$ . Esto se llama a veces el exponencial iterado con base $z$ . Estoy investigando la secuencia anterior para $z = -2.5$ . Después de 6 términos está en el orden de $10^{26649}$ . Mi pregunta es si la secuencia se envía eventualmente muy cerca de $0$ o si la secuencia completa diverge a $ \infty $ .

He intentado manipular la secuencia $a_n$ de varias maneras, la mayoría de las cuales involucran el tronco natural. Estos incluyen la computación $ \ln a_{n+1} = a_n \ln z$ así como la secuencia $b_n = \ln a_n$ usando $b_0 = \ln z$ y $b_{n+1} = e^{b_n} \ln z$ . Para otros valores de $z$ Puedo concluir que algún término $a_n \sim 0$ porque $b_n$ tiene una parte real negativa. Pero este no es el caso de $z = -2.5$ . También he encontrado que es extremadamente incómodo evaluar más de unos pocos términos en estas situaciones; los números involucrados tienden a ser demasiado grandes para manipularlos directamente, incluso con un sistema que soporta aritmética de precisión arbitraria.

Edita : Lo que he intentado hasta ahora es esencialmente un análisis asintótico. A $10$ dígitos $a_6 = 1.048867589 \cdot10 ^{26649}-5.4257156893 \cdot10 ^{26648}i$ . Si esto, o algún término posterior, fuera de la forma $- \infty + \infty i$ Podría parar allí ya que tendríamos $a_n \sim 0 \cdot0 =0$ . De lo contrario, necesito calcular explícitamente al menos $1$ más plazo, porque tendríamos $a_n \sim \infty\cdot\infty = \infty $ o $a_n \sim 0 \cdot\infty $ . Alternativamente, he intentado la computación $b_n = \ln (a_n)$ hasta $ \Re (b_n) < 0$ . También he pensado en usar otras fórmulas iterativas, como para $ c_n = \ln ( \ln (a_n)), d_n = \ln ( \ln ( \ln (a_n)))$ pero no he tenido mucha suerte con esto.

Answer 1

Lo que sigue no pretende dar una respuesta a cómo superar el problema numérico, sino que está pensado para ayudar a la intuición.
De la entrada de wikipedia para tetration la observación sobre la región Shell-Thron implica, que la base $b=-2.5$ debería dar una órbita divergente para $z_{k+1}=b^{z_k}$ pero, por desgracia, la órbita que comienza en $0,1,b,...$ se ejecuta pronto en valores numéricamente tan extremos que no podemos seguir buscando heurísticamente durante más de un par de pasos (como ya ha dicho el OP).

He intentado dar una intuición de la forma general de la iteración utilizando una interpolación basada en valores logarítmicos polares de la iteración (conjugada) de $y_{k+1} = t^{y_k}-1$ donde $t = \exp(-W(-\log(b)))$ (o expresado de otro modo: $b = t^{1/t} $ ). Aquí $t$ es también el punto fijo de atracción de la operación inversa $z_k = \log_b(z_{k+1})$ - así que podemos empezar en un punto, digamos $z_{-120}$ en lo cercano en el punto fijo e iterar un par de veces más para hacer más visible la tendencia.
Además, existe una aproximación "pobre" del mecanismo de Schröder para la interpolación a un flujo continuo, utilizando la representación log-polar de los valores $y_k$ e interpolando linealmente, cuadráticamente o por algún polinomio superior. (La órbita $y_k$ son los valores de la iteración conjugada $y_{k+1}=t^{y_k}-1$ donde $y_k = z_k/t-1$ o viceversa $ z_k = (y_k+1)\cdot t$ .)
Da para algún valor inicial (aleatorio) $y_{-120} $ cerca de cero el siguiente contorno, que se desplaza en espiral (mostrando la divergencia básica de la órbita), llegando a la cercanía de $y_0 $ cerca de $-1$ a partir de la cual los problemas numéricos explotan después de algunas iteraciones más.

Los puntos naranjas grandes son los enteros-iterativos (la órbita de $y_k$ ) donde los problemas comienzan después del $y_k$ llegar en las proximidades de $-1$ (que significa $z_k=(y_k+1)t$ es cercano a cero) La operación $y_{k+1} = t^{y_k}-1$ significa pasar del interior al exterior, mostrando la divergencia esperada. Los pequeños puntos de color verde marino se calculan utilizando la interpolación de las coordenadas log-polares del $y_k$ basado en 6 valores $y_{-120} \ldots y_{-115}$ con un polinomio de 5 órdenes en pasos de 1/50 para una unidad. (utilizando simplemente la norma polinterpolate procedimiento en Pari/GP). La línea punteada fina es la interpolación spline cúbica adicional proporcionada por Excel.
Ahora se podría suponer, que además de algunos valores extremos, esa curva de la órbita/del flujo continuaría expandiéndose - aunque con alguna forma exótica/errática.
La siguiente imagen muestra la órbita del $z_k$ y su flujo interpolado simplemente fijando $z_k = (y_k +1) \cdot t$ :

Por supuesto, el análisis debe continuar para responder realmente a la pregunta original.