Un jugador ingresa al casino con$x\$ $ en su bolsillo y se sienta en alguna mesa.
En cada iteración, apuesta$1\$$ and either wins $ 1 \$$ with probability $ p \ leq \ frac {1} {2}$ or loses $ 1 \ $$.
Suponiendo que el casino tiene crédito ilimitado, es fácil ver que el jugador eventualmente se declarará en bancarrota.
¿Cómo se distribuye el tiempo hasta la quiebra?
¿Es el tiempo esperado hasta la quiebra ==$\infty$?
Cómo es el tiempo hasta la quiebra distribuido?
Esta es una aplicación de Golpear Tiempo Teorema (véase, por ejemplo, aquí (Teorema 1) o pg. 79 de Grimmett y Stirzaker).
$$P(\text{Ruined at game $n$ starting with $\$x$}) = \dfrac{x}{n}\binom{n}{(n-x)/2}p^{(n-x)/2}p^{(n+x)/2}.$$
Es el tiempo de espera hasta la quiebra $= \infty$?
Sí, si $p\geq q$. De lo contrario, es
$$\dfrac{x}{q-p}.$$
Ref: por ejemplo, la Sección 2.1.2 de aquí o de G&S pg. 74. En ambas referencias tomar el límite del casino la fortuna enfoques $\infty$ porque se asume un número finito de casino cantidad.
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