¿Es irreductible 31 en el anillo$\mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]=\left\{a+b\sqrt{5}:a,b\in\mathbb{Z}\right\}$?
¿Y es primo en$\mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Recuerda que, por $x$ a ser irreductible significa que para cualquier factorización de $x$, al menos uno de los factores es una unidad (es decir. tiene un inverso multiplicativo). Como con las sugerencias dadas por anon y vadim, ha $(6+\sqrt{5})(6-\sqrt{5})=31$. Ahora, es uno de estos factores de una unidad?
Supongamos $(a+b\sqrt{5})$ es una unidad. Entonces, por alguna $(c+d\sqrt{5})$, tenemos: $$(a+b\sqrt{5})(c+d + \sqrt{5})=1 \\ \text{(multiplicar ambos lados por el complejo conjugado)} \implica (a^2-5b^2)(c^2-5d^2)=1 $$ Desde todas nuestras variables son números enteros, esto obliga a $a^2-5b^2=\pm 1$. Usted puede comprobar fácilmente que ni $(6+\sqrt{5})$ o $(6-\sqrt{5})$ satisfacer esta condición, por lo tanto, tampoco lo son las unidades. Así, tenemos un trivial de la factorización de $31$, por lo que es no irreductible.
Ahora recuerdo que en la integral de dominio, $x$ es un primer elemento $\implies$ $x$ es un elemento irreductible. Por lo tanto, por contrapositivo, $x$ no es un elemento irreductible $\implies$ $x$ no es un primer elemento. Desde $31$ no es irreducible, no es primo.
