¿Cómo surge una serie de Fourier$\sin$ /$\cos$ de una serie "normal" de Fourier? ¿Cómo se relaciona esto con la serie generalizada de Fourier?

Question

Me han dicho que la transformada de Fourier demostró que se puede representar cualquier función continua, $f(x)$, como una serie convergente en las funciones trigonométricas elementales

$$f(x) = \sum_{k = 0}^\infty a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)$$

Además, supongamos que el $\{\phi_n(x)\}^\infty_{n = 0}$ es un conjunto ortogonal de funciones con respecto a una función peso $w(x)$ en el intervalo de $(a, b)$. Y deje $f(x)$ ser una función arbitraria definida en $(a, b)$. Entonces la serie de Fourier generalizada es

$$f(x) = \sum_{k = 0}^\infty c_k \phi_k (x)$$

Tengo las siguientes preguntas relacionadas con esta:

1. ¿Cómo funciona una de Fourier $\sin$/$\cos$ serie surgir de una "normal" series de Fourier $f(x) = \sum_{k = 0}^\infty a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)$?

2. Cómo se relaciona esto con la serie de Fourier generalizada $f(x) = \sum_{k = 0}^\infty c_k \phi_k (x)$?

Me gustaría que aclarara esto.

EDIT: Cuando digo de Fourier $\sin$/$\cos$ la Serie, me estoy refiriendo a lo que se conoce como "la transformada de Fourier senoidal de la serie" y "coseno de Fourier de la serie".

Answer 1

La "normal" de la serie de Fourier es simplemente un caso particular de la generalización de la serie de Fourier para que $$\phi_k = \{\sin(kx),\cos(kx)\},\ w(x) = 1$$ where $k$ is appropriately defined based on the domain of $f$, precisamente, para hacer de cada función en la familia ortogonal a cada uno de los otros.

En consecuencia, los coeficientes $\{a_k, b_k\}$ de los "normales" de la serie de Fourier se calcula de la misma manera como la generalización queridos $c_k$, a través de un producto interior, con el "objetivo" de la función $f$.

La transformada de Fourier de seno y coseno de la serie aparecen así como las distintas "partes" de los "normales" de la serie de Fourier ya que

$$f(x) = \sum_{k = 0}^\infty a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx) = \sum_{k = 0}^\infty a_k \cos(kx) + \sum_{k = 0}^\infty b_k \sin(kx)$$

y sólo uno de ellos puede ser todo lo que se requiere para aproximar $f$ cuando $a_k$ o $b_k$ son colectivamente $0$. Esto es equivalente a decir que el $f(x)$ es ortogonal a todos los $\sin(kx)$ o todos los $\cos(kx)$ en el dominio de la función.

Tal situación puede generalmente ser cualitativamente deducido antes interno de los productos se calcula, por ejemplo, una función simétrica $f(x) = f(-x)$ definido en un simétrico de dominio $(-a, a)$ tienen $a_k = 0$ y por lo tanto puede ser plenamente armonizada con un coseno de Fourier de la serie. Esto se describe aquí y aquí para el seno y coseno de la serie, respectivamente.

Answer 2

No sé si está preguntando acerca de la serie compacta fouier o la serie exponencial fouier, le diré acerca de la serie compacta fouier$c_n=\sqrt {a_n^2+b_n^2}$ &$\theta_n=-\tan^{-1} {\frac {a_n}{b_n}}$ así que la serie compacta fouier se convierte en$x(t)=c_0+\sum_{i=1}^{\infty}c_n\ cos ({ n*\omega_o*t+\theta_n})$.

Insinuación:- $\cos(a+b)=\cos a*\cos b-\sin a*\sin b$

Nota: - Las series de Fourier se usan para representar solo señales periódicas, para señales arbitrarias usamos la transformada de Fouier.

Answer 3

Puede expandir una función integrable $f$ $[-\pi,\pi]$ en una serie de Fourier como usted ha escrito en su primera ecuación. También se puede iniciar con una función en $[0,\pi]$ y extenderlo a un función en $[-\pi,\pi]$, y el resultado de la serie de Fourier se tiene sólo $\cos$ términos. O usted puede extender $f$ es una función impar en $[-\pi,\pi]$, y el resultado de la serie de Fourier se tiene sólo $\sin$ términos. Hay pointwise los problemas que surgen en $0$ cuando se expanda de esta manera, pero esto no es tan difícil de analizar.