¿Cuál es la diferencia entre arccos(x) y sec(x)

Question

Mi pregunta puede sonar tonta, pero realmente no veo por qué los gráficos de $\arccos(x)$ y $\sec(x)$ son diferentes.

Hasta donde sé, $\arccos(x)$ es la función coseno inversa $(\cos(x)^{-1})$ y $\sec(x)$ = $\frac{1}{\cos(x)}$ (fuente Wolfram|Alpha).

Entonces, ¿por qué no son iguales?

Gracias de antemano.

Answer 1

$\arccos x$ significa el ángulo $\alpha$ en el intervalo $[0,\pi]$ tal que

$$ \cos\alpha=x $$

mientras que

$$ \sec x=\frac{1}{\cos x} $$

Entonces $\arccos0=\pi/2$, mientras que $\sec0=1$.

Creo que estás confundido por la notación $\cos^{-1}$ que alguien usa para $\arccos$.

Desde un punto de vista de "teoría de funciones", la notación $\cos^2 x$ no es apropiada, porque debería significar $\cos(\cos x)$; sin embargo, $\cos^2x=(\cos x)^2$ ha sido usada durante siglos porque es práctica y en muchas fórmulas necesitas el coseno al cuadrado, mientras que el coseno del coseno rara vez es necesario.

Mezclar las dos notaciones, es decir, usar $\cos^{-1}$ para la "función inversa del coseno" es, como mínimo, confuso.

Answer 2

Eso es un problema de notación y probablemente una falta de definiciones. Definimos $\sec x$ como el inverso multiplicativo de $\cos x$, en otras palabras, dado $a \in \mathbb{R}$ fijo, $\sec a$ es el número tal que $\sec a \cos a = 1$. Ahora $\arccos x$ es algo un poco diferente: es la función inversa de $\cos x.

No sé si has aprendido esto, pero la definición formal de una función es la de una colección de pares ordenados. En otras palabras, como una función de un conjunto $A$ a un conjunto $B$ debe ser una regla que asigna para cada $a \in A$ algún $b \in B, simplemente podemos definir una función como el conjunto de todos los pares ordenados de elementos en $a$ junto con elementos relacionados en $b$. Sin embargo, requerimos la propiedad adicional de que si $(a,b) \in f$ y si $(a,c) \in f$, entonces $b = c$ y esta es solo la forma formal de expresar la regla de la "línea vertical". Dado que el segundo elemento en cada par es único, le damos un nombre: si $(a,b) \in f$ entonces $b = f(a)$. Además, para establecer los conjuntos de inicio y fin escribimos funciones de $A$ a $B$ como $f: A \to B$.

Ahora, si tienes una función tienes una colección de pares ordenados, ¿verdad? Entonces, puedes crear un nuevo conjunto de pares ordenados invirtiendo los pares. Así que si $f: A \to B$ es una función de $A$ a $B$ definimos el inverso $f^{-1}$ por la propiedad de que $(a,b) \in f^{-1}$ cuando $(b,a) \in f$. Ahora no está en absoluto claro cuándo $f^{-1}$ es una función. Solo para mostrarte, considera la siguiente función que mapea números naturales a números naturales:

$$f = \{(1,2), (3,2), (4,1)\}\subset \mathbb{N}\times \mathbb{N}$$

Esta es una función por nuestra definición. Ahora el inverso es $f^{-1} = \{(2,1), (2,3), (1,4)\}$, ahora esto no es una función porque $(2,1) \in f^{-1}$ y $(2,3) \in f^{-1}$. Por lo tanto, $f^{-1}$ será una función si la función original también satisface $f(x) = f(y)$ implicando $x = y$. Este tipo de función se llama uno a uno, entonces si $f$ es uno a uno, $f^{-1}$ será una función llamada entonces función inversa.

Además, si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tiene una función inversa $f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, entonces $f(f^{-1}(x)) = x$ y $f^{-1}(f(x)) = x$. Entonces $\arccos$ se define precisamente de esta manera: fijando un intervalo donde $\cos$ es uno a uno, defines $\arccos$ en ese intervalo por la propiedad de que $\arccos x$ es el número $y$ tal que $\cos y = x$, en otras palabras, te devuelve el valor del ángulo cuyo coseno es $x.

Solo una referencia para terminar: puedes encontrar tratamientos como este en libros como Cálculo de Spivak o Cálculo Vol. 1 de Apostol. Espero que la forma en que expuse esto te ayude un poco. ¡Buena suerte!

EDITAR: El problema de notación que mencioné y olvidé mencionar es que tanto el inverso multiplicativo como la función inversa en algunos contextos se denotan por $\cos^{-1}$ y esto suele ocurrir con todas las funciones trigonométricas. Así que para evitar confusiones, recomiendo escribir $\arccos$, $\arcsin$ y así sucesivamente para las funciones inversas.

Answer 3

La notación $\cos^{-1}(x)$ significa lo mismo que $\arccos(x)$. Si querías hablar de $\sec(x)$, que es $1/\cos(x)$, escribirías $(\cos(x))^{-1}$.

Sí, esto es muy confuso: es inconsistente con el uso común de $$\cos^n(x)$$ para significar $(\cos(x))^n$ cuando $n\geq 2; es solo un accidente histórico que las convenciones de notación resultaran de esta manera. Aún más razón para nunca jamás escribir "$\cos^{-1}(x)$" y usar una de las opciones que sean inequívocas: $\arccos(x)$ si quieres decir algo como $$\cos(\arccos(x))=x,$$ y ya sea $\sec(x)$ o $\dfrac{1}{\cos(x)}$ si quieres decir algo como $$\sec(x)\cdot \cos(x)=1\quad\text{cuando }\cos(x)\neq 0.$$

Answer 4

La notación $\cos^{-1}(x)$ es muy confusa. No significa $(\cos(x))^{-1}=1/\cos(x)$, sino $\arccos(x)$, ¡que es una función muy diferente!

Answer 5

La palabra "inversa" es sensible al contexto. Existen inversas aditivas, multiplicativas y composicionales. La función $\arccos$ es una inversa composicional. La función secante es una inversa multiplicativa de la función coseno, que está definida fuera de los ceros de la función coseno.