Mientras resolvía esta pregunta , me topé con un extraño límite:
PS
No estoy realmente seguro de cómo manejar tales límites dentro de la integral. ¿Alguna sugerencia?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Sugerencia. Por el cambio de variable $u=\dfrac yx$, $dy=xdu$, uno se $$ \int_0^x\frac1{\sqrt{\cosh(x)-\cosh(y)}}\ dy=\int_0^1\frac{x}{\sqrt{\cosh(x)-\cosh(x \cdot u)}}\ du $$ then one may observe that, for $0<u<1$, by applying a Taylor series expansion, as $x \to 0^+$, $$ \lim_{x\to0^+}\frac{x}{\sqrt{\cosh(x)-\cosh(x \cdot u)}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1-u^2}} $$ dando, utilizando el Teorema de Convergencia Dominada, $$ \lim_{x\to0^+}\int_0^x\frac1{\sqrt{\cosh(x)-\cosh(y)}}\ dy=\int_0^1\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1-u^2}}du=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\approx \color{red}{2.2214\cdots}. $$
Felix Marin
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$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\lim_{x \to 0^{+}}\int_{0}^{x} {\dd y \over \root{\cosh\pars{x} - \cosh\pars{y}}} = \root{2}\lim_{x \to 0^{+}}\int_{0}^{x} {\dd y \over \root{\sinh^{2}\pars{x} - \sinh^{2}\pars{y}}}\label{1}\tag{1} \end{align} Tenga en cuenta que, por simplicidad, que sustituyó a $\ds{x/2 \mapsto x}$ que no importa en el $\ds{x \to 0^{+}}$ límite.
Permite a $\ds{\sinh\pars{y} = \sinh\pars{x}\sin\pars{t}}$.
A continuación, \begin{align} &\lim_{x \to 0^{+}}\int_{0}^{x} {\dd y \over \root{\cosh\pars{x} - \cosh\pars{y}}} = \root{2}\lim_{x \to 0^{+}}\int_{0}^{\pi/2} {\dd t \over \root{1 + x\sin^{2}\pars{t}}}\label{2}\tag{2} \\[5mm] = &\ \root{2}\int_{0}^{\pi/2}\dd t = \bbx{\ds{\root{2}\pi \over 2}} \approx 2.2214 \end{align} En la línea de \eqref{2} el cuadrado de la raíz, que sustituyó a $\ds{\sinh^{2}\pars{x} \mapsto x}$ que no importa en el $\ds{x \to 0^{+}}$ límite.
Tenga en cuenta que $\ds{\pars{~\mbox{with}\ x\ >\ 0~}}$
\begin{align} &0 < \verts{\int_{0}^{\pi/2} {\dd t \over \root{1 + x\sin^{2}\pars{t}}} - \int_{0}^{\pi/2}\dd t} < \int_{0}^{\pi/2} {\root{1 + x\sin^{2}\pars{t}} - 1 \over \root{1 + x\sin^{2}\pars{t}}}\,\dd t \\[5mm] = &\ x\int_{0}^{\pi/2} {\sin^{2}\pars{t} \over \root{1 + x\sin^{2}\pars{t}}\bracks{\root{1 + x\sin^{2}\pars{t}} + 1}}\,\dd t < x\int_{0}^{\pi/2}{1 \over 1 \times 2}\,\dd t \,\,\,\stackrel{\mrm{as}\ x\ \to\ 0^{+}}{\to}\,\,\, {\large 0} \end{align}
