¿Cómo pruebo que$\mathbb{Z}[\sqrt{19}]$ no es una UFD?

Question

¿Cómo pruebo que$\mathbb{Z}[\sqrt{19}]$ no es una UFD? Además, ¿cómo demuestro que$(7,3+\sqrt{19})$ no es un ideal principal?

Esta es la primera vez que trato con un anillo entero cuadrático donde$\omega>0$, así que no estoy seguro de cómo abordar este problema. Gracias de antemano.

Answer 1

La pregunta es incorrecta; $\mathbb{Z}[\sqrt{19}]$ es un UFD. El Minkowski obligado para el campo $\mathbb{Q}(\sqrt{19})$$\sqrt{19}$, y el anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\sqrt{19})$$\mathbb{Z}[\sqrt{19}]$. Es un teorema que el ideal de la clase de grupo de un campo de número es generado por los ideales de norma menor que la de Minkowski obligado.

Por lo tanto, para demostrar que $\mathbb{Z}[\sqrt{19}]$ es un UFD, es suficiente para comprobar que el $\mathbb{Z}$-de los números primos 2 y 3 (el único de los números primos menos de $\sqrt{19}$) factor principal ideales en $\mathbb{Z}[\sqrt{19}]$.

Esto es equivalente a la comprobación de que uno de $\pm 2$ es una norma, y uno de $\pm 3$ es una norma. (En el real cuadrática caso, no debemos olvidar el signo de la norma!) Desde $\left(\frac{-2}{19}\right) = \left(\frac{-3}{19}\right) = 1$, debemos elegir el signo de menos en ambos casos, y podemos encontrar los siguientes elementos: $N(13 - 3 \sqrt{19}) = -2$$N(4 - \sqrt{19}) = -3$.

Por lo tanto, $\mathbb{Z}[\sqrt{19}]$ es un UFD.