$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} dx \, \sin^{2n} x $

Question

Mientras que la lectura de física de papel vine cruzar el siguiente conjunto de las integrales.

$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} dx \, \sin^{2n} x $$

He intentado utilizar De Moivre identidad, pero no está seguro acerca de la conclusión:

$$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} dx \, \left(\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)^{2n} = \frac{1}{2^n} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} dx \, \a la izquierda(e^{2ix} + e^{-2ix} - 2 \right)^{n} $$

La idea consiste en integrar durante todo el período de tomar el término medio de la expansión binomial

\begin{eqnarray} \frac{1}{2^n} \int_{-\pi}^{\pi} dx \, \left(e^{ix} + e^{-ix} - 2 \right)^{n} &=& \frac{1}{2^n} \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{k=0}^n dx \, (e^{ix} + e^{-ix})^k 2^{n-k} \binom{n}{k} \\ &=& \sum_{k=0}^n 2^{-k}\binom{2k}{k} \binom{n}{k} \end{eqnarray}

No he podido encontrar la página correcta en la tabla de integrales definidas. Alguien puede ayudar con la derivación y la fórmula correcta?

$$ \int_0^{\pi/2} \sin^{2n} dx = \frac{1}{2^{2n}}\binom{2m}{m} \frac{\pi}{2} $$

Answer 1

Como$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} e^{2ni\theta}\,d\theta = 0 $ $ para cualquier$n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$, hemos expandido$(e^{ix}-e^{-ix})^{2n}$ con el teorema del binomio,$$I=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^{2n}\,dx = \frac{(-1)^n}{4^n}\binom{2n}{n}(-1)^n\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2\cdot 4^n}\binom{2n}{n}.$ $

---

Si alguien está buscando un exceso, usando la función Beta de Euler tenemos:$$ I = 2\int_{0}^{1} t^{2n}(1-t^2)^{-1/2}\,dt = \int_{0}^{1} u^{n-1/2}(1-u)^{-1/2}\,du = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}{\Gamma(n+1)}.$ $

Answer 2

Otro enfoque$$I_{2n}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin^{2n}xdx=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{2n}xdx=\\2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{2n-1}xsinxdx=-2cosx sinx |_{0}^{\pi/2}-2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(2n-1)sin^{2n-2}xcosxdx\\=0+2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(2n-1)sin^{2n-2}xcos^{2}xdx=\\2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(2n-1)sin^{2n-2}x(1-sin^{2}x)dx=\\2(2n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(sin^{2n-2}x-sin^{2n}x)dx=\\2(2n-1)(I_{2n-2}-I_{2n})$ $ ahora tenemos una relación recursiva$$I_{2n}=2(2n-1)(I_{2n-2}-I_{2n})\\(4n-2+1)I_{2n}=(4n-2)I_{2n-2}\\I_{2n}=\frac{(4n-2)}{(4n-1)}I_{2n-2}\\I_{0}=\pi\\$ $