Utilizar la identidad de Parseval para calcular $ \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{(4n^2-1)^2}$

Question

La identidad de Parseval : Para el continuo $f: [- \pi , \pi] \to \mathbb{R}$

$$ \sum_{n=- \infty}^{+ \infty} |c_n|^2 = \frac{1}{2 \pi} \int_{ - \pi}^{ \pi} |f(x)|^2dx, \text{ where } c_n = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{ \pi} f(x)e^{-inx}dx$$

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Problema : Utilizando la identidad de Parseval, considere la incluso función $f:= \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} \sin \left( \frac{x}{2} \right), \ x \in [0, \pi] $ para calcular la suma: $$\sum_{n =1}^{+ \infty} \frac{1}{(4n^2-1)^2} $$

Este es mi primer intento de trabajar con La identidad de Parseval y Coeficientes de Fourier . Leí esta pregunta similar de antemano, pero no me ayudó a completar esta tarea Utilizar la serie de Fourier para calcular $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}$ .

Mi enfoque : Me limitaré a escribir los resultados, ya que hice todos los cálculos a mano en papel y luego los comprobé de nuevo con Mathematica. Escribir todo el proceso sólo haría que este post se alargara aún más.

Para obtener los Coeficientes de Fourier hice la integración utilizando sólo la definición anterior, primero miré el caso para $n=0$ . Tengo $$ c_0 = \frac{1}{2}$$ para el caso $ n \neq 0$ He aplicado la integración por partes dos veces y tras un proceso bastante tedioso he acabado con $$c_n = \frac{ in \cos (n \pi)}{4n^2-1}= \frac{in (-1)^n}{4n^2-1} $$ Lo cual fue un resultado muy satisfactorio, porque ahora tengo $$|c_n|^2 = \frac{n^2}{(4n^2-1)^2}$$ que en cierto modo se parece mucho a lo que se supone que tengo que conseguir, excepto por ese molesto $n^2$ en el numerador.

Evaluando finalmente $$ \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^\pi |f(x)|^2dx = \frac{1}{32}(8+ \pi^2)$$

Dudas y preguntas :

• Tengo la sensación de que mi método de integración fue erróneo, porque no hice uso de $f$ siendo par, lo que significaría que $f(-x)=f(x)$ y por lo tanto la integración de $- \pi, \pi$ resultaría ser el doble de la integral original con límites de 0 a $2 \pi$
• • No hice uso de la declaración $f$ es uniforme, porque cuando trazo $f$ a mí no me parece en absoluto uniforme, por lo que me pregunto sobre esta afirmación en general. Supongo que tiene algo que ver con las definiciones de los coeficientes de Fourier y su aplicación a $A$ -Funciones periódicas.
• Si el procedimiento anterior resultara correcto, ¿cómo podría obtener la declaración final? Formulado de manera más precisa, ¿cómo podría llegar de $$ \sum_{- \infty}^{+ \infty} \frac{n^2}{(4n^2-1)^2}$$ a la Suma que parte de $1$ y termina en $\infty$ ?

Answer 1

Aprovechando que $f$ es un incluso ampliamos la función $f$ de la siguiente manera: \begin {align}f:& \begin {casos} [0, \pi ] & \longrightarrow \mathbb {R} \\x & \longmapsto \displaystyle \frac {1}{2} - \frac { \pi }{4} \sin \left ( \frac {x}{2} \right )  \end {casos} \tag {dado} \\\\\\  f:& \begin {casos} [ - \pi , \pi ] & \longrightarrow \mathbb {R} \\ x & \longmapsto \begin {casos} f(x), & 0 \leq x \leq \pi \\ f(-x), & - \pi \leq x \leq 0 \end {casos} \end {casos} \tag {extendido} \end {align} Con esta definición de $f$ tenemos la propiedad de que para $ n \neq 0$ (para $n = 0$ análogo) \begin {align}c_n = \frac {1}{2 \pi } \int_ {- \pi }^{ \pi } f(x) e^{-inx}dx = \frac {1}{2 \pi } \int_ {- \pi }^0 \underbrace {f(x)}_{=f(-x)} e^{-inx}dx + \int_0 ^ \pi f(x)e^{inx}dx \end {align} Un simple sustitución $u=-x$ para la primera integral conduce a: \begin {align}c_n = \frac {1}{2 \pi } \int_0 ^ \pi f(x) \underbrace { \left ( e^{inx}+ e^{inx} \right )}_{= 2 \cos (nx)}dx \end {align} lo que finalmente llevaría a los coeficientes de Fourier correctos y simétricos \begin {align} c_n = \frac {1}{8n^2-2}= \frac {1}{2} \cdot \frac {1}{4n^2-1} \text { con } c_{-n}=c_n \end {align} Computar de la misma manera $$ \frac{1}{ 2 \pi} \int_{- \pi}^\pi |f(x)|^2dx = \frac{\pi ^2-8}{32} $$ conduce a la resultado final : $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2-1}= \frac{\pi^2-8}{16} $$