Derivados de los castillos

Question

Deje que$X$ sea un espacio de Banach y que$\Omega \subset X$ esté abierto.

La función$f$ tiene un derivado de Gâteaux$g \in X'$ en$u \in \Omega$ si,$\forall h\in X,$$$\lim_{t \rightarrow 0}[f(u+th)-f(u)- \langle g,th \rangle]=0$ $

¿Cómo puedo probar lo siguiente?

Si$f$ tiene un derivado continuo de Gâteaux en$\Omega$, entonces$f \in C^1(\Omega,\mathbb R)$.

Answer 1

Parece que vale la pena ampliar user31373 la respuesta de arriba es para el beneficio de aquellos que podrían llegar a esta página por casualidad (como hice yo).

El Valor medio teorema discutido anteriormente es la siguiente declaración:

Deje $f : X \to Y$ ser un mapa de la normativa espacios lineales. Dado $x_0 \in X$ y una dirección $h \in X$ de manera tal que la derivada direccional $\delta f(x_0+th)(h)$ existe para todas las $t \in [0,1],$ tenemos que $$ \|f(x_0+h)-f(x_0)\| \leqslant \|\delta f(x_0+th)(h)\| $$ para un adecuado $t \in [0,1]$

(P. Drabek, J. Milota, Métodos de Análisis no Lineal, 2007; Th. 3.2.7). De ello se sigue que \begin{equation} \tag{%#%#%} \|f(x_0+h)-f(x_0)-\delta f(x_0)h\| \leqslant \|\delta f(x_0+th)(h)-\delta f(x_0)(h)\| \end{equation} (el último ejemplo es el de la izquierda sin la prueba en Drabek--Milota, y, por desgracia, la sugerencia que se le da no es engañosa; sin embargo, el libro es una de las mejores fuentes de Fréchet y Gâteaux de la diferenciación). De hecho, uno puede usar la idea de user31373 la respuesta. Consideramos que el mapa de $*$ tal que $$ g(x)=f(x)-\delta f(x_0)(x-x_0) $$ para todos los $g : X \to Y$ es fácil ver que el Valor medio teorema aplicado a $x \in X.$ nos da $g$ comprobaremos, por ejemplo, el hecho clave de existense de las derivadas direccionales $(*).$ en Primer lugar, recordemos que la Gâteaux diferencial conserva el producto escalar: $\delta g(x_0+th)(h).$ todos los $\delta f(x)(r h)=r \delta f(x)(h)$, y para todos los $x,h \in X$ (la homogeneidad de $r \in \mathbf R$). Tenemos que \begin{eqnarray} \delta g(x_0+th)(h) &=& \lim_{u \to 0} \frac{g(x_0+th+uh)-g(x_0+th)}u \\ &=&\lim_{u \to 0} \frac{f(x_0+th+uh)-\delta f(x_0)( (t+u)h) - f(x_0+th)+\delta f(x_0)(th)}u \\ &=&\delta f(x_0+th)(h)-\delta f(x_0)(h) \end{eqnarray} donde hemos usado la homogeneidad para justificar la última ecuación.

Ahora, para abordar la cuestión de en qué condiciones existense de Gâteaux diferenciales implica existense de la diferencial de Fréchet. El resultado estándar es la siguiente (citando de nuevo Drabek--Milota):

si $\delta f(x)$ es un mapa lineal normativa espacios que en un cierto abierto de vecindad $f : X \to Y$ $O_{x_0}$ el Gâteaux diferencial $x_0 \in X$ existe y es lineal y continua para todos los $\delta f(x)$ y el mapa $$ x \mapsto \delta f(x) $$ de $x \in O_{x_0}$ a $X$ es continua en a $L(X,Y) $ $x_0,$ es Fréchet diferenciable en a $f$

(Prop. 3.2.15 en Drabek--Milota); $x_0$ es la normativa espacio de lineal continua mapas de $L(X,Y)$ $X$equipado el uniforme de la norma $$ \|\varphi\| =\mathrm{sup}_{x \ne 0} \frac{\|\varphi(x)\|}{\|x\|} \qquad (\varphi \en L(X,Y)). $$ La prueba se basa en la igualdad de $Y$ por encima.

Answer 2

El teorema 1-2 de las "Ecuaciones no lineales modernas" de Saaty lo prueba utilizando una combinación del teorema del valor medio y el teorema de Hahn Banach.

Answer 3

Si$\phi$ es continuo en$x_0$ y ∂ϕ (x0) contiene un elemento singleton, entonces ϕ es Gâteaux diferenciable en x0 y ϕ (x0) = ∂ϕ (x0).