Categoría de punta y los conjuntos de la categoría de conjuntos no son equivalentes

Question

Deje $\mathbf{Set}$ denotar la categoría de conjuntos, con $\mathrm{hom}(X,Y)=Y^X$, y deje $\mathbf{pSet}$ denotar la categoría de punta conjuntos, con los objetos de la forma $(X,x),\, x\in X$, e $\mathrm{hom}((X,x),(Y,y))=\{ f:X\to Y\mid f(x)=y\}$, entonces el deseo de demostrar que no puede existir ninguna equivalencia de estas dos categorías.

Sé cómo construir equivalencias, pero estoy luchando por encontrar cualquier medida por la cual puedo mostrar dos categorías no equivalentes. Mi planteamiento inicial era de suponer la existencia de una equivalencia $F:\mathbf{pSet}\to\mathbf{Set}$ y llegar a una contradicción, pero no podía llegar muy lejos. Yo soy muy nuevo a la categoría de teoría, así que no estoy realmente seguro de cómo ir desde aquí.

Answer 1

En general, demuestra que las cosas no son equivalentes al mostrar que algunos invariantes toma valores diferentes para cada uno. En la categoría de la teoría de estos invariantes suelen tomar la forma de categórico propiedades (propiedades invariantes hasta equivalencia), tales como el comportamiento de los límites y colimits.

Aquí conjuntos y señaló los juegos pueden ser distinguidos por el comportamiento de su inicial y terminal de los objetos: la categoría de punta conjuntos tiene un cero de objeto, es decir, un objeto que es a la vez inicial y terminal, mientras que la categoría de conjuntos no.

Answer 2

Trate de mirar inicial y terminal de objetos en ambas categorías.

Answer 3

Para la variedad...

En $\mathbf{Set}$, $|\hom(X,X)| = |X|^{|X|}$.

En $\mathbf{Set_*}$, $|\hom((X,x), (X,x))| = |X|^{|X \setminus x|}$

En $\mathbf{Set}$, cada finito endomorfismo monoid tiene cardinalidad $n^n$ para algún número natural $n$, mientras que en $\mathbf{Set_*}$ todos ellos tienen cardinalidad $(n+1)^n$.

En particular, existe un conjunto con exactamente 4 endomorphisms, pero no señaló conjunto tiene exactamente cuatro endomorphisms. Por lo tanto no es completa y fiel functor $\mathbf{Set} \to \mathbf{Set_*}$.