El conjunto de $\{g^2 | g \in G\}$ en un grupo $G$

Question

Deje $G$ ser un grupo. Probar o refutar que $H =\{g^2 | g \in G\}$ es un subgrupo de $G$.

He intentado probar las permutaciones de $A_4$, sin embargo el cuadrado de cada ciclo se produjo un ciclo de trabajo en $A_4$, por lo que a mí me falta un contra-ejemplo (si hay uno). En pocas palabras estoy buscando un subgrupo de que al cuadrado de la permutación del ciclo, se produce un ciclo no en ese subgrupo.

O, podría estar muy lejos de la base y la figura que no existe un contra-ejemplo y tengo que demostrar que efectivamente $H$ es un subgrupo de $G$.

Answer 1

Tal como sospecha, la declaración es falsa. Considerar el % de grupo libre $G$en dos generadores, decir $x$ y $y$. Entonces $x^2$ y $y^2$ están en $H$, pero no hay manera para escribir $x^2 y^2$ como un cuadrado. (Recuerde, $x$ y $y$ no viajan, tan $(xy)^2 \not= x^2 y^2$.)

Answer 2

$A_4$ debería funcionar. Las plazas se encuentran en el $A_4$ simplemente porque un grupo es cerrado bajo su multiplicación, pero hay más obstáculos para un subconjunto de ser un subgrupo.

Ahora, ¿cuáles son las plazas en $A_4$? Tenemos dos tipos de no-trivial elementos en $A_4$: productos de distintos relatos como $[12][34]$, que la plaza a la identidad, y $3$-ciclos como $\sigma = [123]$. El $3$-ciclos de satisfacer $\sigma^3 = e$ y, por tanto,$\sigma = (\sigma^{-1})^2$, por lo que están todas las plazas.

Por lo tanto, es el conjunto de todos los $3$-ciclos, junto con la identidad, forman un subgrupo de $A_4$? Si he multiplicado $[123][423]$ correctamente, entonces la respuesta es no. [Otra razón, que creo que es lo que Arturo es llegar a: hay $8$ diferentes $3$-ciclos, y $9$ no divide $12 = |A_4|$.]

Answer 3

¿Puedo ofrecer una solución computacional?

Si ejecuta este código en el espacio, le dará el número de grupos no-isomorfo $G$ $n \leq 200$ de la orden para que $H$ no es un subgrupo. Encuentra miles de ejemplos contra en cuestión de segundos.

for n in [1..200] do
  count:=0;
  for i in [1..NrSmallGroups(n)] do
    G:=SmallGroup(n,i);
    S:=Set(G,g->g^2);
    H:=Group(S);
    if(Size(H)<>Size(S)) then count:=count+1; fi;
  od;
  if(count>0) then Print(n," ",count,"\n"); fi;
od;

Answer 4

Su idea de lo que tendría que hacer para encontrar un contraejemplo estaba confundido.

"En pocas palabras estoy buscando un subgrupo de que al cuadrado de la permutación del ciclo, se produce un ciclo no en ese subgrupo."

Lo que estamos tratando de hacer es probar que existe un grupo de $G$ de manera tal que el conjunto $H$ no es un subgrupo. Así que el contraejemplo que se busca es el grupo $G$, no un subgrupo de la misma. Usted adivinaron correctamente que $A_4$ sería un ejemplo, pero entonces lo que hay que mostrar es que el conjunto de todos los cuadrados de los elementos de $A_4$ no forman un subgrupo. Claramente el problema es que no va a ser el conjunto de todos los cuadrados no es ni siquiera figura en $A_4$, debido a $A_4$ es un grupo. Pero usted puede mostrar (como Dylan, ha mencionado) que existen dos plazas en $A_4$ tales que su producto no es un cuadrado.

No estoy seguro de por qué escribí esto, ya que otros ya han dicho mucho. Supongo que no estaba muy seguro de si has visto por qué su enfoque no tenía sentido.

Answer 5

Ha habido algunos muy buenos ejemplos en contra. He aquí otra idea a considerar. Una sencilla prueba tiene que demostrar que un grupo donde todos los elementos de la plaza para el elemento de identidad es conmutativa. También, el conjunto de $S$ de todas las plazas es "normal"en $G$ en el sentido de que para todos los $g$ en $G$, $g^{-1}Sg=S$.

Una dirección a tener en cuenta es simple no conmutativa grupos $G$ : el conjunto de todos los cuadrados que es "normal" y estrictamente mayor que $\{1\}$, por lo tanto, si se tratara de un subgrupo, tendría que ser todos los de $G$.

A continuación, puede ver en el simple no conmutativa grupo $A_6$ y el aún permutación $(12)(3456)$. Esta es la plaza de ninguna permutación (incluso en $S_6$). Así el conjunto de los cuadrados de $A_6$ no puede ser un subgrupo.