Pregunta simple de Mecánica Cuántica sobre la partícula libre, (parte2)

Question

Continuando con mi primera pregunta titulada, S una pregunta de Mecánica Cuántica sobre la partícula libre, (parte1)

Griffiths continúa y dice,

"Un punto fijo en la forma de onda corresponde a un valor fijo del argumento y, por tanto, a x y t tales que,"

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x $\pm$ vt = constante, o x = $\mp$ vt + constante

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¿Qué significa esto? Estoy muy confundido.

Continúa diciendo que psi(x,t) podría ser lo siguiente:

$$\psi(x,t) = A e^{i(kx-(hk^2/2m)t}$$

porque la ecuación original,

$$\psi(x,t) = A e^{ik(x-(\hbar k/2m)t)} + B e^{-ik(x + (\hbar k/2m)t)}$$

sólo se diferencia por el signo delante de k. Luego dice que k sea negativo para cubrir el caso de las ondas que viajan hacia la izquierda, $k = \pm \sqrt{(2mE)}/\hbar$ .

Entonces, después de intentar normalizar psi(x,t), ¡descubres que no puedes hacerlo! Entonces dice lo siguiente,

"Una partícula libre no puede existir en estado estacionario; o, dicho de otro modo, no existe una partícula libre con una energía definida. "

¿Cómo llegó a esta deducción lógica? No lo entiendo. ¿Puede alguien explicarme la afirmación de Griffith?

Answer 1

La primera parte sobre las velocidades dice que estamos viendo una función

$$\psi(x,t) = \psi(u)$$

para $u=x-vt$ . Por ejemplo, $\psi = \cos(x-vt)$ .

Ahora elige un valor fijo para $\psi$ , digamos que $0.4$ . Encuentre un lugar donde $\psi = 0.4$ como $x=1.16$ . Si dejas que una pequeña cantidad de tiempo $\textrm{d}t$ pasar, luego mirar $x=1.16$ de nuevo, $\psi$ ha cambiado un poco, pero si miras el punto $x = 1.16 + v\textrm{d}t$ , encontrará $\psi = 0.4$ allí, por lo que podríamos decir que el lugar donde $\psi$ es $0.4$ se mueve a la velocidad $v$ .

Esto no es lo mismo que decir que la partícula se mueve a esa velocidad. Es decir que $v$ es el velocidad de fase de la onda.

La segunda parte sobre la normalizabilidad dice que una función de onda debe ser un elemento en un espacio vectorial llamado espacio de Hilbert (por los físicos; creo que los matemáticos lo llaman $L_2$ ). El espacio de Hilbert consiste en funciones de onda que son normalizables al cuadrado; puedes elevarlas al cuadrado, integrarlas desde el infinito negativo hasta el infinito y obtener un valor finito. Las cosas que mueren exponencialmente en sus colas hacen esto, por ejemplo.

La función sinusoidal no muere exponencialmente, o no muere en absoluto. Si se eleva al cuadrado y se integra desde el infinito negativo hasta el infinito, se obtiene algo infinito. Por tanto, la onda sinusoidal no representa una función de densidad de probabilidad razonable para la localización de una partícula. La partícula tendría una "probabilidad infinitesimal de ser observada en cualquier lugar de una región infinita", lo que físicamente no tiene sentido. En cambio, para una partícula real, debemos tener una función de onda normalizable. Como una partícula libre con energía definida tendría una función de onda sinusoidal pura, una partícula libre con energía definida no es físicamente posible.

Answer 2

Responderé a esta parte de la pregunta ya que es importante distinguir lo que hacemos como físicos.

"Una partícula libre no puede existir en estado estacionario; o, dicho de otro modo, no existe una partícula libre con una energía definida".

Como dice Mark en su comentario anterior:

es bastante estándar encontrar una solución a una ecuación y luego preguntar si esa solución tiene sentido físico.

Lo cual está bien. Cuando la respuesta es "no", como en este caso, uno sigue adelante para encontrar soluciones físicamente significativas que describan una partícula libre.

Hay muchas pruebas experimentales de que las partículas existen, desde la física atómica hasta la física nuclear, pasando por la física de partículas. Si se resuelve la ecuación de Schroedinger para un pozo de potencial, no sólo se obtienen funciones de estado bien definidas, sino que las soluciones describen el comportamiento de la partícula de forma entre buena y excelente. Entonces se resuelve la ecuación "sin potencial" y se encuentran las ondas planas .

Primer pensamiento: sin potencial significa partícula libre.

segunda reflexión: ¿se comportan bien estas funciones de onda planas para que puedan utilizarse para describir mecánicamente una partícula libre?

El tercer pensamiento debería ser: No, no se pueden normalizar a una función de probabilidad.

Cuarto pensamiento: ¿Podría uno utilizar estas soluciones como un conjunto completo para encontrar una función que pueda ser normalizada y su probabilidad describa una partícula física libre?

Bingo: paquetes de ondas.

La afirmación "no existe una partícula libre con una energía definida" es errónea para una partícula física. Debería ser : las ondas planas no pueden describir partículas libres.

Las partículas libres (experimento) triunfan sobre las ondas planas (teoría).

Tenías razón en estar confundido.

Answer 3

Normalmente añadiría esto como un comentario, pero todavía no puedo comentar.

Yo diría que el autor sólo dice eso porque el argumentos son efectivamente los mismos, y el módulo de cada número es arbitraria, se puede utilizar el ley distributiva para simplificar la expresión. Si se intenta normalizar utilizando el procedimiento estándar, se obtiene: $$A^2$$ Si no se especifican condiciones de contorno finitas, hay que encontrar la integral de este valor constante desde -infinito hasta infinito, lo que da un valor infinito, y por tanto no es normalizable.

Answer 4

Parece que hay una diferencia de opinión, no expresada, sobre lo que queremos decir cuando decimos "partícula libre". Tiene que significar, como mínimo, que no interactúa con ningún término de energía potencial. Podemos, entonces, considerarla como parte de un sistema cerrado en el que no hay energía potencial, por lo que su Hamiltoniano no tiene término de energía potencial. De hecho, normalmente queremos decir que su hamiltoniano tiene la forma habitual de cuantificar un hamiltoniano libre clásico, y está claro que eso es lo que el Sr. Eichenlaub, y algunos otros colaboradores, querían decir. (La interfaz web aquí, por alguna razón impía, convierte mi barra invertida en yen... así que simplemente me refiero al hamiltoniano escrito arriba).

Ahora bien, no existen tales partículas en la Naturaleza por la trivial razón de que hay, en efecto, términos de energía potencial por todas partes, ninguna partícula está realmente aislada del resto del universo. Así que la pregunta se refiere a una situación hipotética, y es una pregunta razonable.

Una partícula libre no puede estar en un estado propio del hamiltoniano porque el espacio de Hilbert de los estados no posee ningún estado propio: esto es simplemente otra forma de decir lo que escribió el Sr. Eichenlaub, y no puede ser realmente criticado. El siguiente paso es que si tuviera una energía definida sería un estado propio, por lo que no puede tener una energía definida.

Es bastante irreal criticar primero esta línea de razonamiento diciendo que hay que fijarse sólo en la realidad, ya que realmente no hay partículas libres en absoluto. Pero luego es positivamente incoherente seguir hablando de partículas libres observadas experimentalmente.

Evidentemente, puede haber partículas que sean aproximadamente libres, pero entonces, podrían tener una función de onda que fuera aproximadamente una onda plana: es decir, una superposición de banda estrecha en la que su posición tendría una varianza muy grande (pero no infinita), por lo que las probabilidades de encontrarla en cualquier lugar muy pequeño serían prácticamente nulas (pero no exactamente cero). ¿Cuáles serían los límites de esta aproximación? Tendríamos que estar justificados para despreciar la energía potencial, de la que hay que preocuparse principalmente de dos tipos: las fuerzas ejercidas por otras partículas y la gravedad. Así que si la partícula estuviera lejos de todas las demás partículas, esto podría estar justificado. Pero cuanto mayor sea la variación de su posición, más difícil será arreglar esto...

Sé que los aspectos prácticos de la existencia de una partícula libre no eran lo que preguntaba el autor de la pregunta, pero quien quiera hacer que la realidad se imponga a la formulación de una pregunta sencilla y sensata sobre el hamiltoniano libre está obligado a enfrentarse a la realidad y a analizar los límites de este tipo de aproximación. Si mi análisis tentativo del párrafo anterior es correcto, este tipo de aproximación se justifica cuando se trata de una onda más o menos monocromática....

La situación de una onda monocromática no es la que se podría pensar. Es estacionaria, por lo que nada se mueve. Cuando se considera como una onda, no cambia su posición, no se mueve en ese sentido. Cuando se considera como una partícula, tampoco se mueve. Ese es el sentido de estar en estado estacionario... y es la diferencia entre la velocidad de fase y la velocidad de la partícula.

Answer 5

Es la ecuación de Schroedinger independiente del tiempo $$\frac {d^2 \psi} {d x^2} = - k^2 \psi$$ donde $k^2 = \frac {2mE} {\hbar^2}$ que la mecánica cuántica utiliza para describir una partícula libre, no cualquier otra ecuación. Dicha ecuación tiene como solución la siguiente función: $$ \psi(x) = A e^{ikx} + Be^{-ikx}$$ que es una onda plana y no un paquete de ondas. Si la solución de la ecuación anterior no fuera una onda plana, sino un paquete de ondas, debería demostrarse claramente y no habría que hablar de las ondas planas. Una teoría, sin embargo, debería tener una cualidad predictiva. La mecánica cuántica predice que el estado de una partícula libre es descrito por una onda plana (porque, como se ha dicho, eso es lo que es la solución de la ecuación de Schrodinger) pero eso resulta no ser físico (no cumple con el experimento) por razones ya discutidas. Esta es una deficiencia importante de la mecánica cuántica, junto con otra serie de deficiencias, que deberían ser claramente explicadas y no desviadas ofreciendo construcciones no relacionadas con la ecuación de Schrodinger. ¿Algún comentario?