Problema con un ejercicio simple

Question

Así que tengo que resolver la ecuación de $$y^2=4\tag{1.9.88 unit 3*}$$

Hice esto: $$y^2=4 \text{ means } \sqrt{y^2}=\sqrt{4}=>y=2$$

Pero tengo un problema, $y$ puede ser negativo o positivo, por lo que necesito hacer: $$\sqrt{y^2}=|y|=2=>y=2- or- y=-2$$

¿Es lo correcto?

Answer 1

Sí, es correcto. Yo voy a recomendar una mejor manera de acercarse a este. Sólo factorizar.

$(y-2)(y+2) = 0$

$y = 2,-2$

Answer 2

Nunca olvides esta regla: Para todos los $x\in\mathbb{R}$, el siguiente se tiene:$$\sqrt{x^2}=|x|=\begin{cases}x & x\gt 0\\ -x & x\leqslant0\end{cases}$$ Aplicando a la ecuación $y^2=4:$ $$\begin{align} \sqrt{y^2}=\sqrt{4}&\iff |y|=2\\ &\iff y=2\,\,\mathrm{or}\,\,y=-2 \end{align}$$ Así que tienes razón, mantener el buen trabajo!

Espero que esto ayude.
Los mejores deseos, $\mathcal H$akim.

Answer 3

Para este tipo de problema, siempre pienso, "¿Cómo podría aparecer en una gráfica? ¿Cuáles son los interceptos en x?" Por supuesto, no tengo tiempo para dibujarlo. Pero puedo pensar, "Vamos a $y^2$$x^2$. ¿Cómo puede el $x^2=4$ se convirtió en una función? Solo puedo mover $4$ a la izquierda restando $4$ en ambos lados, y la sustitución de la $0$$f(x)$."

Así que, ¿cuáles son los interceptos en x de $f(x)=x^2-4$? Esperemos que se puede identificar de inmediato los interceptos en x como $\pm \ 2$. Lo que significa que la $x=\pm \ 2$ si $x^2=4$. Sólo reemplace$x^2$$y^2$. Si $y^2=4$,$y=\pm \ 2$.

Otra manera más rápida de resolver el problema es el factoring. Restar $4$ de ambos lados para obtener $y^2-4 = 0$. A continuación, el factor de la ecuación mediante la diferencia de los cuadrados. $(y+2)(y-2)=0$. La ecuación ahora se divide en dos casos diferentes. Usted sabe que si $ab=0$, luego $a=0$, $b=0$, o $a$ $b$ igualdad $0$.

Caso 1: $y+2=0$

$y+2=0$
$y=-2$

Caso 2: $y-2=0$

$y-2=0$
$y=2$

Así, la respuesta es $y = \pm \ 2$.

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Información Adicional A Continuación:

Usted puede estar preguntándose, "¿por Qué usted puede simplemente reemplazar el $0$ $x^2-4=0$ $f(x)$ en el primer método de solución de la ecuación?" Usted debe saber la diferencia entre el $f(x)=x^2-4$ y $0=x^2-4$. $f(x)=x^2-4$ es el gráfico de todos los puntos que satisfacen la condición de que cada punto de la curva se tiene coordenadas $(x, f(x))$. $x^2-4=0$ es un caso especial de la función de $f(x)=x^2-4$. Aquí, $0=f(x)$. Así que, ¿qué puntos de la curva son en la forma $(x, 0)$? Obviamente, los puntos se $(2, 0)$$(-2, 0)$.

También se puede pensar en la ecuación de $x^2-4=0$ como un sistema de ecuaciones como: $$\begin{cases} f(x)=x^2-4 \\ f(x)=0 \\ \end{cases}$$ La solución del sistema será la intersección de la función de $f(x)=x^2-4$ y la línea de $f(x)=0$. La línea de $f(x)=0$ es el eje de las x, por lo que la pregunta es, "¿de Dónde $f(x)=x^2-4$ intersección con el eje x?" Obviamente, se intersecan en los puntos de $(2, 0)$$(-2, 0)$.