Buscando ayuda en la comprensión de Jitsuro Nagura del análisis de la cota superior para $\psi(x)$

Question

Estoy trabajando en la comprensión de Nagura del análisis de la cota superior para $\psi(x)$, lo que se hace en el Lema 2. Estoy claro en uno de los pasos de su razonamiento.

Con el Lema 1, se establece para $x \ge 2000$:

$$\log\Gamma(\lfloor{x}\rfloor+1) - \log\Gamma(\lfloor{\frac{x}{2}}\rfloor+1) - \log\Gamma(\lfloor{\frac{x}{3}}\rfloor+1)- \log\Gamma(\lfloor{\frac{x}{7}}\rfloor+1) - \log\Gamma(\lfloor{\frac{x}{43}}\rfloor+1) - \log\Gamma(\lfloor{\frac{x}{1806}}\rfloor+1) < 1.0851x$$

Con el Lema 2, se muestra que para $x > 0$:

$$\log\Gamma(\lfloor{x}\rfloor+1) - \log\Gamma(\lfloor{\frac{x}{2}}\rfloor+1) - \log\Gamma(\lfloor{\frac{x}{3}}\rfloor+1)- \log\Gamma(\lfloor{\frac{x}{7}}\rfloor+1) - \log\Gamma(\lfloor{\frac{x}{43}}\rfloor+1) - \log\Gamma(\lfloor{\frac{x}{1806}}\rfloor+1) \ge \psi(x) -\psi(\frac{x}{1806})$$

Ahora, el siguiente paso que me confunde. Con base en estos dos pasos, Nagura hace el siguiente argumento:

$$\psi(x) < 1.0851(x + \frac{x}{1806} + \frac{x}{1806^2} + \frac{x}{1806^3} + \ldots ) < 1.086x$$

Estoy teniendo problemas para entender este paso.

De lo anterior se sigue desde que se ha establecido este paso:

$$\psi(x) < 1.0851x + \psi(\frac{x}{1806})$$

Y está tratando de generalizar a una declaración de la forma:

$$\psi(x) < Kx$$

Gracias,

-Larry

Answer 1

Una segunda aplicación de la desigualdad $$\psi(x) <1.0851x+\psi\left(\frac{x}{1806}\right)$$ da $$\psi(x) < 1.0851x\left(1+\frac{1}{1806}\right)+\psi\left(\frac{x}{1806^2}\right)$$ En general, la inducción da $$\psi(x) < 1.0851x \left(1+\frac{1}{1806} + \frac{1}{1806^2} + \ldots + \frac{1}{1806^k}\right)+\psi \left( \frac{x}{1806^{k+1}}\right).$$ Para $k$ suficientemente grande, tenemos $1806^{k+1} > x$, punto en el cual el $\psi$plazo es $0$, lo que le da el obligado $$\psi(x) < 1.0851x\sum_{j=0}^\infty \frac{1}{1806^j}.$$

Nota histórica: esta técnica fue utilizada por primera vez por Chebyshev, que mostró $$0.9212x< \psi(x) < 1.1056x$$ para un gran $x$ a demostrar el postulado de Bertrand (así como dar el correcto crecimiento de la orden de $\pi(x)$). Nagura utiliza una diferente aproximación de la función de $\log \mathrm{lcm}(1,\ldots,n)$, y así conseguir diferentes constantes. Yo escribí un artículo que incluye general de las construcciones de este formulario, así como notas históricas; se puede encontrar aquí.