Polyakov acción

Question

He empezado a leer algo acerca de las cadenas y me siento un poco confundido con el de Polyakov acción. La razón es porque en esta acción se obtienen dos indicadores, uno de ellos es la inducida por la métrica en el mundo-hoja y la otra es arbitraria métrica en cada punto de este mundo-de la hoja.

Esta es la definición que tengo de la Polyakov acción: $\int d\tau d\sigma(-\gamma)^{1/2}\gamma^{ab}h_{ab}$

Aquí $h_{ab}=\partial_{a}X^{\mu}\partial_{b}X^{nu}g_{\mu\nu}$, y se llama inducida por la métrica, porque usted puede conseguir a partir de la métrica del espacio-tiempo. Por otro lado, el segundo $\gamma^{ab}$ se llama métrica así, pero es dinámico y arbitraria, porque es como un campo unta en worldsheet, esta nueva dinámica de métrica no tiene ninguna relación con la $h_{ab}$, $\gamma^{ab}$ obtener una dependencia de la $h^{ab}$ sólo cuando empezamos a trabajar con el MOE con respecto a esta métrica.

Así que ahora estoy confundido. Que de esta métricas $h^{ab}$ o $\gamma^{ab}$ I debe utilizar para el aumento y la reducción de los índices en un tensor de estar en el mundo-hoja?

Mi respuesta sería,$h^{ab}$, porque tiene un sentido geométrico , pero entonces ¿por qué se da el nombre de métrica para el otro campo $\gamma^{ab}$

Answer 1

La clave aquí es distinguir entre dos diferentes variedades. Tenemos $M$ llevado a ser el espacio-tiempo, y dentro de este colector $M$, podemos imaginar una cadena de propagación que barre una superficie de $\Sigma \subset M$.

La incorporación de las funciones de $\Sigma$ $X^\mu(\tau,\sigma)$ que llevan un $\mu$ índice a lo largo del espacio-tiempo, pero son funciones de las coordenadas definido para $\Sigma$ tratado como un colector en su propio derecho.

El Polyakov acción,

$$S \sim \int d^2 \sigma \, \sqrt{-h}\, h^{ab} g_{\mu\nu}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu$$

donde $h_{ab}$ es la inducida por la métrica en la superficie de la $\Sigma$, e $g_{\mu\nu}$ es la métrica de $M$, por lo tanto contratados con $X^\mu$ $X^\nu$ que llevan el espacio-tiempo de los índices.

Por lo tanto, si tengo algún objeto decir $P^a$, lo que lleva a un worldsheet índice $a$, para bajar el $a$$P^a$, se podría utilizar la métrica en la $\Sigma$ e lo $P_a = h_{ab}P^b$. Asimismo, $M$ índices se levantó y bajó con $g_{\mu\nu}$.

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Una Sutileza

Ahora usted puede pensar que si estamos haciendo cualquier operación que lleva a un espacio-tiempo de índice, entonces estamos haciendo con respecto a la multiplicidad de $M$, pero este no es necesariamente el caso.

Por ejemplo, supongamos que tenemos un sub-colector $\Sigma \subset M$ incrustado en $M$. Podemos definir una derivada covariante, $\nabla_\mu$ que usted podría pensar que los medios ordinarios de la diferenciación covariante w.r.t. $g_{\mu\nu}$.

Sin embargo, esto no tiene por qué ser el caso. En general, $\Sigma$ hereda dos esencialmente equivalente métricas de $M$, la inducida por la métrica $\gamma_{ab}$ calculado normalmente a partir de la incorporación y la primera forma fundamental,$^\dagger$

$$h_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} \pm n_\mu n_\nu$$

que es una especie de proyección de la métrica en la $M$; aquí $n_\mu$ es el vector normal. Por lo tanto, $\nabla_\mu$ podría significar la diferenciación covariante en $\Sigma$, incluso a pesar de que lleva a un espacio-tiempo de índice, si w.r.t. $h_{\mu\nu}$.

Generalmente, las ambigüedades como estos se hizo clara en la mayoría de las fuentes, y mucha de la maquinaria de la geometría diferencial de sub-colectores no es necesario en introductorio de la teoría de cuerdas textos.

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$\dagger$ Aquí $h_{\mu\nu}$ es que no debe confundirse con $h_{ab}$. Tomé $h$ simplemente porque la primera forma fundamental es que normalmente siempre se denomina $h$. Nota: $\gamma_{ab}$ aquí es la misma métrica que hace una aparición en la Nambu-Goto acción.

Answer 2

De hecho, hay dos métricas, y habrá dos conjuntos de índices asociados a los tensores en el mundo de la hoja: uno para el mundo de la hoja y otro para el destino de espacio. Por ejemplo, $X^{\mu}(\tau, \sigma)$ no lleva mundial de hoja de índices pero tiene destino índice de espacio $\mu$, así que uno debe bajar o subir $\mu$ por el destino de espacio métrico. Por otro lado, $\partial_aX^{\mu}$ lleva tanto el objetivo de índice de espacio $\mu$, y el mundo de la hoja de índice $a$. Así que uno debe bajar/subir $a$ mundial de hoja de métrica y bajar/subir $\mu$ por el destino de espacio métrico .

También se puede decir esto en el lenguaje de los tensores de ser muti-lineal de los mapas, pero no estoy seguro de que sería más útil para esta pregunta.