Funciones convexas son Continuas

Question

En W. Rudin los Principios de Análisis Matemático, leemos en el Capítulo 4 que el valor real de las funciones definidas en un intervalo abierto $(a,b)\subseteq\Bbb R$ son continuas (específicamente, el Ejercicio 23). Me pregunto si esto es cierto si la función está definida en una normativa espacio lineal?

Mi curiosidad surge porque yo estoy trabajando en la tarea de un análisis funcional supuesto, y uno de los ejercicios se hace referencia a una función $\varphi:E\to\Bbb R$ donde $E$ es una normativa espacio lineal. El problema aquí es mostrar que es convexa inferior semi-continuo (l.s.c.), y he demostrado que la función es convexa sin mucha dificultad. Como pensé más y más sobre él, me convencí de que la función fue también continua (de ahí l.s.c.). Pero, a continuación, llamar a una función convexa l.s.c. parece redundante, así que no estoy seguro de que he pensado que a través de totalmente correctamente.

Answer 1

^{Un ejemplo de un discontinuo finito-valorada función convexa en (incompleta) de la normativa del espacio lineal, publicado por user127096.}

Deje $c_{00}$ ser el subespacio de $\ell^2$ consta de las secuencias con un número finito distinto de cero, con la norma heredada de $\ell^2$. La función de $\varphi(x) = \sum_{n=1}^\infty n^2 x_n^2$ es convexa en a $c_{00}$ y toma valores en $\mathbb R$ (no infinito de valores), sin embargo, no es continua. De hecho, la secuencia de $n^{-1}e_n$ converge a $0$ en la norma de $X$, pero $\varphi(n^{-1}e_n) = 1 \not\to 0 = \varphi(0)$. En particular, no es semicontinua inferior. También no es localmente acotada, la cual está relacionada.