Integralmente dominio Cerrado y Director de Ideal

Question

Deje $R$ ser un integralmente cerrado de dominio local. Supongamos que hay un $y\in I^n$ tal que $yI^n=I^{2n}$ algunos $n$. Me gustaría probar ese $I^n=(y)$.

Fuente: La pregunta de arriba viene de la prueba del Lema F en la página 449 de este documento.

Una prueba es dada, pero no puedo entender, me parece que falta algo muy simple que parezca.

Hice esta pregunta antes y alguien votada abajo, así que lo pensé un poco más, pero aún así siento que me falta algo.

Answer 1

En cuestiones de la Proposición 2.4 de Atiyah y Macdonald, Introducción al Álgebra Conmutativa, es un tipo de herramienta universal. (Ver también aquí.)

En la notación del libro, conjunto $M=I^n/y$, $\mathfrak a= R$. Tenga en cuenta que $M^2=M$ dentro del campo de fracciones de $R$. Ahora vamos a $x\in M$ y definen $\phi:M\to M$$\phi(a)=ax$. A continuación,$\phi(M)\subseteq M$, y por lo tanto no se $a_i\in R$ tal que $$\phi^n+a_1\phi^{n-1}+\cdots+a_n=0.$$ Thus $una(x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n)=0$ for all $\en M$. In particular, $x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0$, so $x$ is integral over $R$ hence $x\in R$, y hemos terminado.

Answer 2

Yo creo que su argumento es el siguiente:

Deje $y \in I^n$ tal que $yI^n = (I^n)^2$. Tenemos un conjunto finito de generadores $x_1, \ldots, x_m$$I^n$.

Supongamos que tenemos algunos $t \in I^n/y$. Entonces podemos escribir $t x_i = \sum_{j=1}^m r_{ij} x_j$ algunos $a_{ij} \in R$, ya que el $I^{2n}/y = I^n$.

Esto implica $\sum_{j=1}^m (t \delta_{ij} - r_{ij}) x_j = 0$. Si multiplicamos por la adjunta de la matriz $t \delta_{ij} - r_{ij}$ obtenemos $\det(t \delta_{ij}-r_{ij}) x_j = 0$, y por lo $\det(t \delta_{ij}-r_{ij}) = 0$ (desde el $x_i$ generar $I$, por lo que WLOG no son cero, y $R$ es una parte integral de dominio). Creo que esto es lo que se refieren cuando dicen que "la determinante truco".

En particular, este es un monic polinomio en $t$ con coeficientes en $R$, lo $t$ integral $R$ e (desde $R$ es integralmente cerrado) tenemos $t \in R$. Por lo tanto,$I^n/y \subseteq R$, lo $I^n \subseteq (y)$. Pero desde $y \in I^n$ tenemos $I^n = (y)$.