¿Dónde me equivoqué en mi evaluación de la integral del coseno al cuadrado?

Question

$$\int{\cos^2(x)}dx$$ ¿Dónde me equivoqué en mi evaluación de esta integral?

$$=x\cos^2x - \int-2x\sin(x)\cos(x)\,dx$$ $$=x\cos^2x + \int x\sin(2x)\,dx$$ $$=x\cos^2x + \left(\frac {-x\cos(2x)}2 -\int \frac{-\cos(2x)}2\,dx\right)$$ $$=x\cos^2x + \left(\frac {-x\cos(2x)}2 + \frac 12\cdot\frac{\sin(2x)}2\right)$$ $$x\cos^2x-\frac{x\cos(2x)}2+\frac{\sin(2x)}4 + C$$

Y esto está claramente mal, pero no sé dónde me he equivocado en mis cálculos. A alguien le importaría corregirme en algún sitio?

Answer 1

Tu respuesta es perfectamente correcta, aunque está dada de una forma más complicada de lo necesario. Una pequeña simplificación (sustituir el $\cos 2x$ por $2\cos^2 x-1$ ) lo pondrá en formato estándar.

Answer 2

$$ \int \cos^2 x dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2}dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C $$

Answer 3

Como se señaló anteriormente, su respuesta es correcta, sólo tiene una duplicación que se cancela.

Alternativamente, $\int (1-\sin^2x)\,dx = \int\cos^2 x\,dx$

Así que..: $$\int(\cos^2 x + 1 -\sin^2 x)\,dx = 2\int\cos^2x\,dx.$$ Ahora, $\cos^2 x -\sin^2 x = \cos 2x$ . Así que el lado izquierdo es:

$$\int(1+\cos(2x))\,dx = x + \frac{1}{2}\sin(2x) + C$$

Dividiendo por $2$ y sustituyendo por $\sin(2x)=2\sin x\cos x$ , obtenemos:

$$\frac{x+\sin(x)\cos(x)}{2}+C'$$

Answer 4

Aviso $$I=\int \cos^2 xdx$$

$$\implies I=\int \cos x\cos xdx$$ $$=\cos x\int \cos x-\int (-\sin x)\sin xdx$$ $$=\cos x(\sin x)+\int \sin^2 xdx$$ $$=\frac{1}{2}(2\sin x \cos x)+\int (1-\cos^2 x)dx$$ $$=\frac{1}{2}\sin 2x+\int dx-\int \cos^2 xdx$$ $$I=\frac{1}{2}\sin 2x+x-I+c$$ $$2I=\frac{1}{2}\sin 2x+x+c$$ $$I=\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{x}{2}+C$$

Answer 5

Utilizando la fórmula $\displaystyle \bullet \; 2\cos^2 x = 1+\cos 2x$

Así que $$\displaystyle I = \frac{1}{2}\int 2\cos^2 xdx =\frac{1}{2}\int \left[1+\cos 2x\right]$$

Así que $$\displaystyle I = \frac{1}{2}\int 1 dx + \frac{1}{2}\int \cos 2x dx = \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x+\mathcal{C}$$