Una ecuación exponencial

Question

La necesidad de resolver la ecuación $$(x+1)^{x-1}=(x-1)^{x+1}$$ After applying logarithm on each side one obtains the following equation: $$f(x+1)=f(x-1)\text{, where }f(x)=\ln x/x$$ que no parece tener una solución a juzgar por el gráfico de $f$. Cuál es la estrategia que sugeriría usted? Gracias!

Answer 1

Vamos a trabajar con $$(x-1)\ln(x+1)=(x+1)\ln(x-1)$$ y $x>1$. Como mi comentario de los estados, $x=3$ resuelve esto. Considere la posibilidad de $$g(x)=(x-1)\ln(x+1)-(x+1)\ln(x-1).$$ Entonces $$g'(x)=\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)-\frac{4x}{x^2-1}.$$ Tenga en cuenta que $\lim_{x\to \infty}g'(x)=0$. También tenga en cuenta que $$g"(x)=\frac{2x^2+6}{(x^2-1)^2}$$ lo que es positivo para $x>1$. Por lo tanto $g'(x)$ es una función creciente de que los enfoques $0$. Por lo tanto $g'(x)<0$ todos los $x>1$. Mediante el uso del Valor medio Teorema de saber que $$(x-1)\ln(x+1)<(x+1)\ln(x-1)$$ para todos los $x>1$.