Para ver qué es lo que falla, intentemos demostrar algo aún más sencillo: que $\omega_1$ existe.
Definitivamente tenemos el conjunto de todos los bien ordenados de $\omega$ (a través de Powerset y Separation). Ahora, mediante Separación y Elección, podemos elegir una familia $\{R_i: i\in I\}$ de las ordenaciones de los pozos de $\omega$ de manera que cada ordenación de $\omega$ es de orden isomorfo con exactamente una $R_i$ . La prueba habitual de que los ordenamientos están bien ordenados por incrustación de segmentos iniciales es válida, por lo que podemos construir un ordenamiento $W$ de tipo de orden $\omega_1$ al "sumar todos los $R_i$ s juntos". Por supuesto, esto es no un ordinal, es sólo una relación binaria sobre un conjunto (concretamente, sobre $\omega\times I$ ) que es una ordenación bien hecha y que tiene "longitud $\omega_1$ " de forma intuitiva.
Bien, entonces podemos construir un cosa de largo $\omega_1$ por qué no podemos construir $\omega_1$ ¿en sí mismo?
Bueno, lo que haríamos quiere hacer es mostrar: "Para todo ordenamiento bueno, hay un ordinal de la misma longitud". (Formalizado adecuadamente.) Sin embargo, ¡este hecho utiliza el Reemplazo!
En concreto, la prueba habitual es más o menos así: "Supongamos que existe un ordenamiento $R$ de un conjunto $X$ que no está en biyección preservadora del orden con ningún ordinal. Podemos suponer que para cada $x\in X$ el conjunto $X_x=\{y\in X: y<_R x\}$ es en una biyección que preserva el orden con algún ordinal. (En caso contrario, si hay algún $x\in X$ tal que $\{y\in X: y<_R x\}$ no está en biyección preservadora del orden con ningún ordinal, entonces como $R$ es una ordenación correcta, existe un mínimo de este tipo $x$ por lo que sólo hay que sustituir $X$ y $R$ con $X_x$ y $R\upharpoonright X_x\times X_x$ .) Así que tenemos un mapa de elementos de $X$ a los ordinales. Por sustitución, la imagen de ese mapa existe y es un conjunto de ordinales cerrado hacia abajo, y por tanto un ordinal; y es fácil demostrar que este ordinal está en biyección preservadora del orden con $R$ ."
En $ZC$ Sin embargo, no hay ninguna razón para que la clase de ordinales correspondiente a los elementos de $X$ ¡para ser un conjunto! Así que la prueba se rompe aquí. De hecho, es peor: en $ZC$ ni siquiera podemos probar que $\omega+\omega$ ¡existe! (Y la única manera $ZC$ conoce $\omega$ existe es por tenerlo "incorporado" a través del Axioma del Infinito).
Técnicamente, esto no responde a su pregunta: todo lo que he explicado es por qué la prueba habitual que $\omega_1$ existe se rompe. No he demostrado que no la prueba existe. Con el fin de demostrar que, en realidad, $ZC$ no puede probar $\omega+\omega$ existe, basta con demostrar que $V_{\omega+\omega}$ es un modelo de $ZC$ . (¡Es un ejercicio divertido!)
EDIT: Quizá le interese el artículo "Slim models of Zermelo set theory" de Mathias ( https://www.dpmms.cam.ac.uk/~ardm/slim.dvi ) - se centra específicamente en las definiciones recursivas en Z(C), y donde se rompen. Nótese que la primera frase del resumen confirma mi afirmación de que Z por sí sola no puede demostrar que $V_\omega$ existe.
