Deje $f:[0,1]\to \mathbb R$ ser una función derivable

Question

Deje $f:[0,1]\to \mathbb R$ ser una función derivable con $f(0)=0$, $f(1)=1$. Probar que para todo entero positivo $n$, $n$ distintos números de $x_1,x_2,\cdots,x_n\in(0,1)$ tal que $$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{1}{f'(x_i)}=1.$$

Mi amigo envió este problema, pero aún no podía trabajar en la pregunta.

Answer 1

Deje $0=y_0 <y_1 < y_2< \cdots <y_n=1$, por lo que el$f(y_i) = i/n$$i=0, 1, \cdots, n$. Tal $y_i$'s se puede encontrar siempre $f$ es continua.

A continuación, por medio del teorema del valor, hay $x_i \in (y_{i-1}, y_i)$, $i=1, \cdots, n$ tal que

$$f'(x_i) = \frac{f(y_i) - f(y_{i-1})}{y_i - y_{i-1}}\Leftrightarrow \frac{1}{n} \frac{1}{f'(x_i)} = y_i - y_{i-1}$$

suma más de $i$,

$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{f'(x_i)} = \sum_{i=1}^n (y_i - y_{i-1}) = 1-0 = 1.$$