$U = (I-iT) (I + iT) ^ {-1}$ es un operador unitario, cuando T es auto-adjunto

Question

Deje $V$ complejo producto interior en el espacio de dimensión finita y $T$ un operador más de $V$. Mostrar que la transformación $$U = (I-iT) (I + iT) ^ {-1}$$ es un operador unitario

Mi Intento:

$$\langle U \alpha, U\alpha \rangle = \langle (I)(I+a)^{-1} \alpha , (I)(I+a)^{-1} \alpha \rangle = \langle \alpha , (I)^{-1}(I+) (−I)(I+a)^{-1} \alpha \rangle $$

y tengo la prueba de esto $(I−iT)^{-1}(I+iT)(I−iT)(I+iT)^{-1} = I $

Answer 1

Este es el operador de valores de la versión de el hecho de que el mapa $$x\mapsto \frac{1-ix}{1+ix}$$ transforma la recta real en el círculo unidad.

El operador términos, la línea real se convierte en el conjunto de la auto-adjuntos a los operadores. Y el círculo unitario es el grupo de operadores unitarios.

Por lo tanto, vamos a $T$ ser uno mismo-adjoint. A continuación,$(I\pm iT)^*=(I\mp iT)$, lo que implica $U^*=(I-iT)^{-1}(I+iT)$. Ya que todos los operadores de la forma $aI+bT$ conmuta con cada uno de los otros, tenemos $$U^*U = (I-iT)^{-1}(I+iT) (I-iT)(I+iT)^{-1} =(I-iT)^{-1}(I-iT)(I+iT) (I+iT)^{-1} =I $$ y $$UU^* = (I-iT)(I+iT)^{-1} (I-iT)^{-1}(I+iT) = (I-iT) (I-iT)^{-1}(I+iT)^{-1}(I+iT) =I $$