¿Por qué el polo está generalmente fuera del bucle de contorno cuando está fuera del bucle de contorno en 2D?

Question

La siguiente integral de contorno depende de la trayectoria con los siguientes resultados \begin{align} \oint_C\dfrac{dz}{z} = \begin{Bmatrix} 2\pi i && \text{when $z=0$ is inside C} \\ 0 && \text{when $z=0$ is outside C} \end{Bmatrix} \end{align}

Sin embargo, cuando pienso en cómo se puede incrustar el plano complejo a la superficie de la esfera de Riemann, me doy cuenta de una contradicción. Una espira que no encierra localmente un polo en una superficie cerrada, como la esfera de Riemann, lo encierra globalmente dando la vuelta a la superficie cerrada. En el análisis complejo se nos enseña que todos los infinitos complejos convergen en el mismo punto, probablemente en referencia a la esfera de Riemann? Esto crea una contradicción sobre lo que significa tomar una integral de contorno alrededor de un polo y no alrededor de un polo.

Tengo curiosidad por saber si esto es un problema de topología, porque la diferencia entre integrar en el plano complejo versues la esfera de Riemann, es que allí las métricas son diferentes

\begin{align} \text{plane metric} && |dz|^2 &=& dx^2+dy^2 \\ \text{sphere metric} && |dz|^2 &=& \dfrac{4}{1+x^2+y^2}(dx^2+dy^2) \end{align}

lo que implicaría una definición diferente de la integral de contorno.

¿Por qué el polo está generalmente fuera del bucle de contorno cuando está fuera del bucle de contorno en 2D?

Answer 1

Si quieres saber qué ocurre cerca del punto en el infinito de la esfera de Riemann, casi siempre debes hacer la sustitución $w \mapsto \frac{1}{z}$ y mira lo que está pasando cerca de cero.

Si haces esa sustitución en tu integral, obtienes $$ \int_C \frac{dz}{z}=\int_{C'} w \, \left(\frac{-dw}{w^2}\right)=-\int_{C'}\frac{dw}{w} $$ donde $C'$ es el contorno que resulta de invertir $C$ sobre $0$ .

Si $C$ estaba orientado positivamente, $C'$ estará orientado negativamente. Esto anula el signo menos que se introdujo en el cambio de variable, por lo que de hecho esta integral, al igual que la original, será igual a $$ \begin{cases} 2\pi i & \text{when } w=0 \text{ is inside } C' \\ 0 & \text{when } w=0 \text{ is outside } C' \end{cases} $$ Pero $w=0$ corresponde a $z=\infty$ , así que esto es decir que la integral es $2\pi i$ cuando nuestro contorno incluye $\infty$ y $0$ cuando no lo hace (en el $w$ -plano, que incluye $\infty$ pero omite $0$ ).

¿Cómo debemos interpretar esto en términos de la esfera de Riemann? Lo natural es decir que $\int_C \frac{dz}{z}$ será distinto de cero si $C$ separa $0$ de $\infty$ y cero si no lo hace. Esta es una noción topológicamente bien definida, ya que hay bucles en la esfera dos veces perforada que no pueden ser encogidos a un punto. Es decir, si quieres tomar tu bucle que rodea el cero y encogerlo hasta un punto pasando "por el otro lado de la esfera", tendrá que pasar por $\infty$ - y el cálculo que acabamos de hacer muestra que la integral tiene una singularidad en $\infty$ así como en $0$ así que eso no está permitido.

Una integral de contorno que sólo es singular en $0$ y no en $\infty$ realmente se desvanecerá, exactamente por el tipo de razón topológica que has señalado en tu pregunta. Por ejemplo, ésta es una forma de ver que $$ \int_C \frac{dz}{z^2}=0 $$ para cualquier contorno $C$ que no pasa por el origen.

Answer 2

Basta con definir que un punto está "dentro" de una curva, si el punto está en el lado derecho de la curva al recorrerla en el sentido de las agujas del reloj.