¿Cómo encontrar el dominio de esta función?

Question

F(x)= $\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x-1} )}{( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} )}\;$

en primer lugar $\sqrt{x}$ se define para:

$$x > 0 \tag{1}$$

y $\sqrt{x-1}$ se define para:

$$x \ge 1 \tag{2}$$

de $(1)$ y $(2)$ obtenemos el dominio de $f(x)$ debe ser $\{x | x\ge 1\}$

Encontramos los dominios de las funciones elementales contenidas en $f(x)$ y los intersectamos para encontrar el dominio de $f(x)$ .

pero poniendo $x = 0$ obtenemos

$$f(0)= -1$$

¿por qué esta solución no estaba contenida en la solución mencionada? Siempre encuentro los dominios de las funciones compuestas de esta manera, ¿Cómo puedo estar seguro de que algunos puntos, como $(0,-1)$ en el problema anterior, aún no están incluidos en la solución?

Answer 1

$f$ es una fracción, y las fracciones se definen en todos los lugares en los que el denominador es distinto de cero (que lo es). El numerador se define cuando $[0,\infty) \cap [1,\infty) = [1,\infty)$ (la raíz cuadrada se define en $0$ ), y el denominador se define para $$ \{x : \sqrt{x} + \sqrt{x-1} \neq 0, \, x\geq 0, x\geq 1\} = [1,\infty) $$ por lo que el dominio es $[1,\infty)$ .

Con esto, deberíamos ver que $f(0)$ no está definido.

Answer 2

A mí me parece que su observación es correcta. Supongo que se trata de una función real. Tenemos

$$f(x) = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x-1} )}{( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} )}\ = (\sqrt{x} - \sqrt{x-1})^2$$ Para $x\geq 1$ esto se define, por supuesto. Para $x\leq0$ sustituto $x \to -t$ para que tengamos $$(i\sqrt{t} - i\sqrt{t+1})^2 = -(\sqrt t - \sqrt {t+1})^2$$ $f$ mapea los valores de $x\leq0$ a $\mathbb{R}$ por lo que esto es, de hecho, en el dominio (aunque como los números complejos se están utilizando en el proceso, algunos pueden estar en desacuerdo con esto).

Si $x \in (0,1)$ El argumento anterior falla. En particular, tenemos entonces $(\sqrt{x} - i\sqrt{1-x})^2$ que tiene una componente imaginaria.

Por lo tanto, concluimos que el dominio es $\mathbb{R} \setminus (0,1)$ .

Answer 3

Poniendo $x=0$ obtenemos $$f(x) = \dfrac{\sqrt{0}-\sqrt{-1}}{\sqrt{0}+\sqrt{-1}}$$ Así que estamos recibiendo $\sqrt{-1}$ en alguna parte de esta función que no es real. Por lo tanto $f(0)$ no está definido.

Answer 4

Tenemos $$f(x) = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x-1} )}{( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} )}$$ El dominio de $f$ es: $$D_f = \{ x \in \mathbb{R} : (\sqrt{x}+\sqrt{x-1} \ne 0) \wedge (x \ge 0) \wedge (x-1 \ge 0) \}$$

• Consideremos la primera desigualdad: $\sqrt{x}-\sqrt{x-1} \ne 0$
  Para que la explicación sea más clara, consideremos la negación: $$\sqrt{x}+\sqrt{x-1} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x-1} = -\sqrt{x}$$ Porque $(\forall x \in \mathbb{R}): \sqrt{x} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x-1} = -\sqrt{x}$ no es solucionable( $\sqrt{x-1}$ no puede ser negativo)
  La solución es $\emptyset$ , porque hemos considerado la negación, por lo que debemos negar de nuevo qué resultado $\mathbb{R}$ Dejemos que $D_1$ denota el primer conjunto de soluciones, por lo que $D_1 = \mathbb{R}$
• Consideremos ahora la segunda desigualdad: $x \ge 0$
  Esta desigualdad ya está resuelta. De forma análoga al primer caso, dejemos que $D_2$ denota el segundo conjunto de soluciones, por lo que $D_2 = [0,+\infty[$
• Consideremos ahora la última desigualdad: $ x-1 \ge 0 $
  $ x-1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1 \Leftrightarrow D_3 = [1,+\infty[$
  La solución completa $$D_f= D_1 \cap D_2 \cap D_3$$ $$\Leftrightarrow D_f= \mathbb{R} \cap [0,+\infty[ \cap [1,+\infty[$$ $$\Leftrightarrow D_f= [1,+\infty[$$