Solución suave y única de $\dot{x} = A x$

Question

Dejemos que $A$ sea el generador infinitesimal de un $C_0$ -semigrupo $(S(t))_{t \geq 0}$ . Ahora, por cada $x_0 \in X$ el mapa $t \mapsto S(t) x_0$ es una solución suave de

$$ \dot{x} = Ax, \quad x(0) = x_0.\tag{*} $$

Ahora, una función continua $x: [0, \infty) \to X$ se llama solución suave de $\text{(*)}$ si $\int_0^t x(s) \, ds \in D(A)$ donde $D(A)$ es el dominio de $A$ , $x(0) = x_0$ y

$$x(t) - x(0) = A \int_0^t x(\tau) \, d\tau \text{ for all $ t \geq 0 $}.$$

Ahora, tengo una prueba de esto pero utiliza el teorema de Hille, pero es bastante complicado (necesita algunos trucos) y el teorema de Hille no es elemental, ¿alguien conoce una prueba elemental de la unicidad?

Answer 1

Sólo se necesitan algunas propiedades sencillas de la integral valorada en el espacio de Banach, a saber, la linealidad (la integral conmuta con operadores lineales continuos) la sustitución por traslaciones y el teorema fundamental del cálculo, que dice: $\frac{1}{h}\int_0 ^h f(t) d t \to f(0)$ (en el espacio de Banach) para $h \to 0$ .

Así que después de escribir todas las definiciones (y utilizar la linealidad y las propiedades del semigrupo), tu trabajo es demostrar que para cualquier $t>0$ tenemos $$\frac{1}{h}\int_0 ^t (S(\tau+h) x_0 - S(\tau)x_0) d \tau \to S(t)x_0 - x_0$$ para $h\to 0$ desde arriba. Podemos suponer $t>h$ . A continuación, divide la primera integral en $\int_0 ^{t-h}+\int_{t-h} ^t$ y el segundo en $\int_0 ^h+ \int_h ^t$ . Por traslación las integrales $\int_0 ^{t-h}$ et $\int_h ^t$ se cancelan, y sólo hay que aplicar el teorema fundamental del cálculo.