Encontrar la serie de Fourier de expansión de $x(t) = \sum\nolimits_{z \in \mathbb{Z}} (-1)^z \delta(t - 2z)$ donde $\delta(\cdot)$ denota la función delta de Dirac (unidad de impulso).
Puedo inferir que el período de $x(t)$$T = 4$.
Sin embargo, estoy atascado en la búsqueda de los coeficientes de Fourier $$ C_k = \frac1T \int\limits_{\tau_0}^{\tau_0 + T} x(\tau) e^{-i\frac{2 \pi k \tau}{T}} \operatorname d \tau $$ donde $\tau_0 \in \mathbb{R}$, $T = 4$ es el período, y $x(t)$ se define como la anterior. Puede alguien darme alguna ayuda en cuanto a cómo manejar esa integral?
Respuesta
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La función de $x(t)$ dada por
$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} (-1)^k\delta(t-2k)$$
es periódica con período de $4$.
Podemos escribir la Serie de Fourier para $x(t)$
$$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i\pi nt/2}$$
donde los coeficientes de Fourier $c_n$ están dadas por
$$\begin{align} c_n&=\frac14\int_0^4 x(t)e^{-i\pi nt/2}dt\\\\ &\frac14 \int_0^4 \left(\delta(t)-\delta(t-2)\right)e^{-i\pi nt/2}dt\\\\ &=\frac14\left(1-e^{-i \pi n}\right)\\\\ &=\frac{1-(-1)^n}{4} \end{align}$$
Por lo tanto, hemos
$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{x(t)\sim \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{4}e^{i\pi nt/2}=\sum_{n=1}^{\infty}\cos\left(\frac{(2n-1)\pi t}{2}\right)}$$
Es interesante notar que al término formal-por=plazo de integración de la Serie de Fourier de la representación de $x(t)$, $t\in [0,4)$
$$\int_0^t x(t')dt'=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\left(\frac{(2n-1)\pi t}{2}\right)}{\frac{(2n-1)\pi }{2}}$$
que reconocemos como la Serie de Fourier para la función pulso $p(t)$ dada por
$$ p(t)= \begin{cases} 1&,t\in [0,2)\\\\ \frac12&,t=2\\\\ 0&,t\in(2,4) \end{casos} $$
