Ampliación de abelian grupos de anillos

Question

He estado leyendo este artículo acerca de la extensión de abelian grupos a los anillos: http://www.math.udel.edu/~coulter/papers/anillos.pdf.

Podría usted explicarme por qué el teorema 2.1 garantías a la izquierda y a la derecha de la distribución?

PS. Podría usted decirme si lo he entendido todo correctamente? Tomamos cualquier función de $f: G \rightarrow G$, luego de definir la multiplicación por $*_f$ y, a continuación, probar que $(G, +, *_f)$ es de hecho un anillo, ¿es eso cierto?

Gracias.

Answer 1

A la izquierda la distributividad: $x \star (y+z) = f(x + (y + z)) - f(x) - f(y + z) = f(x+y) + f(x+z) + f(y+z) - f(x) - f(y) - f(z) - f(x) - f(y+z) = f(x+y) + f(x+z) -2f(x) -f(y) - f(z) = (f(x+y) - f(x) - f(y)) + (f(x+z)-f(x)-f(z)) = x \star y + x \star z$

Derecho distributividad, a continuación, sigue a partir de la conmutatividad de la $\star$$(x+y)\star z = z\star(x+y) = z\star x + z\star y = x \star z + y\star z$.