Cómo mostrar que el límite de esta secuencia es $L=4$ (ex.8.11 Análisis Matemático 2ª ed.- Apostol)

Question

Necesito mostrar que esta secuencia tiene límite de $L=4$. Sé que podría ser útil el principio de inducción matemática, pero no puedo entender la forma en que debo utilizar este principio para demostrar que el límite es $L=4$.

$$a_1=2;a_2=8;a_{2n+1}=\frac12(a_{2n}+a_{2n-1}); a_{2n+2}=\frac{a_{2n}\times a_{2n-1}}{a_{2n+1}}$$

También he calculado los primeros términos de esta secuencia

$a_1=2;a_2=8;a_3=5;a_4=3,2;a_5=4,1;a_6=3,9...$

Estoy interesado en la comprensión de cómo debo pensar cuando me enfrento a este tipo de problemas. Me podrían ayudar por favor? Cualquier sugerencia o ayuda será bienvenida.

Answer 1

Desde $a_{2n}a_{2n-1}=a_2a_1=16$ por cada $n$, la secuencia de $b_n=a_{2n-1}$ resuelve $b_1=a_1=2$ $b_{n+1}=\frac12\left(b_{n}+\frac{a_1a_2}{b_n}\right)=\frac12\left(b_n+\frac{16}{b_{n}}\right)$ por cada $n\geqslant 1$.

Deje $u:x\mapsto\frac12\left(x+\frac{16}{x}\right)$, $u(x)\geqslant4$ por cada $x\gt0$, $u(4)=4$ y $4\leqslant u(x)\leqslant x$$x\geqslant4$, lo $b_n\geqslant4$ por cada $n\geqslant2$ $(b_n)_{n\geqslant2}$ es menor delimitada por $4$ y nonincreasing.

En particular, $b_n\to\ell$ al $n\to\infty$ donde $\ell\geqslant4$ resuelve $u(\ell)=\ell$, $\ell=4$. Finalmente, $a_{2n}=2b_{n+1}-b_n$ por lo tanto $a_{2n}\to2\ell-\ell=\ell$. QED.

Para otros valores positivos de $(a_1,a_2)$, reemplace$16$$a_1a_2$$\ell=4$$\ell=\sqrt{a_1a_2}$, entonces el resultado se sostiene.

Answer 2

Los números de inicio son a y b.

$$c:=\frac{a+b}{2}$$

$$d:=\frac{2ab}{a+b}$$

son los dos próximos números.

Así, el producto de los dos números es

cd = ab , de modo que el producto no cambia en el proceso.

Si L es el límite, tenemos $L^2 = ab = 16$ , por lo que L = 4.