¿Por qué la serie $\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{\cos(n\pi/3)}{n}$ convergen?

Question

¿Por qué esta serie $$\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{\cos(n\pi/3)}{n}$$ ¿converger? ¿No se puede utilizar una comparación límite con $1/n$ ?

Answer 1

En primer lugar su conclusión es errónea ya que $\lim_{n \to \infty} \cos(n \pi/3)$ no existe.

La convergencia de $$\sum_{n=1}^N \dfrac{\cos(n\pi/3)}{n}$$ puede concluirse basándose en Suma parcial de Abel (El resultado se denomina prueba de alternancia generalizada o prueba de Dirichlet ). Primero demostraremos la afirmación generalizada.

Considere la suma $S_N = \displaystyle \sum_{n=1}^N a(n)b(n)$ . Sea $A(n) = \displaystyle \sum_{n=1}^N a(n)$ . Si $b(n) \downarrow 0$ y $A(n)$ está acotada, entonces la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a(n)b(n)$ converge.

Obsérvese en primer lugar que a partir de la suma de Abel, tenemos que \begin{align*}\sum_{n=1}^N a(n) b(n) &= \sum_{n=1}^N b(n)(A(n)-A(n-1))\\&= \sum_{n=1}^{N} b(n) A(n) - \sum_{n=1}^N b(n)A(n-1)\\ &= \sum_{n=1}^{N} b(n) A(n) - \sum_{n=0}^{N-1} b(n+1)A(n) \\&= b(N) A(N) - b(1)A(0) + \sum_{n=1}^{N-1} A(n) (b(n)-b(n+1))\end{align*} Ahora bien $A(n)$ está acotada, es decir $\vert A(n) \vert \leq M$ y $b(n)$ es decreciente, entonces tenemos que $$\sum_{n=1}^{N-1} \left \vert A(n) \right \vert (b(n)-b(n+1)) \leq \sum_{n=1}^{N-1} M (b(n)-b(n+1))\\ = M (b(1) - b(N)) \leq Mb(1)$$ Por lo tanto, tenemos que $\displaystyle \sum_{n=1}^{N-1} \left \vert A(n) \right \vert (b(n)-b(n+1))$ converge y, por tanto $$\displaystyle \sum_{n=1}^{N-1} A(n) (b(n)-b(n+1))$$ converge absolutamente. Ahora bien, como $$\sum_{n=1}^N a(n) b(n) = b(N) A(N) + \sum_{n=1}^{N-1} A(n) (b(n)-b(n+1))$$ tenemos que $\displaystyle \sum_{n=1}^N a(n)b(n)$ converge.

En tu caso, $a(n) = \cos(n \pi/3)$ . Por lo tanto, $$A(N) = \displaystyle \sum_{n=1}^N a(n) = - \dfrac12 - \cos\left(\dfrac{\pi}3(N+2)\right)$$ que está claramente acotada.

También, $b(n) = \dfrac1{n}$ es una secuencia monótona decreciente que converge a $0$ .

Por lo tanto, tenemos que $$\sum_{n=1}^N \dfrac{\cos(n\pi/3)}{n}$$ converge.

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Mira algunas de mis respuestas anteriores para preguntas similares.

Para qué números reales $a$ hace la serie $\sum \frac{\sin(ka)}{\log(k)}$ ¿convergen o divergen?

Haga una demostración de que $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\sin(n)}{n}$ converge.

Si las sumas parciales de a $a_n$ están acotadas, entonces $\sum{}_{n=1}^\infty a_n e^{-nt}$ converge para todo $t > 0$

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Si está interesado en evaluar la serie, aquí tiene una salida. Tenemos para $\vert z \vert \leq 1$ y $z \neq 1$ , $$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{z^n}n = - \log(1-z)$$ Configuración $z = e^{i \pi/3}$ obtenemos que $$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{e^{in \pi/3}}n = - \log(1-e^{i \pi/3})$$ Por lo tanto, \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\cos(n \pi/3)}n & = \text{Real part of}\left(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{e^{in \pi/3}}n \right)\\ & = \text{Real part of} \left(- \log(1-e^{i \pi/3}) \right)\\ & = - \log(\vert 1-e^{i \pi/3} \vert) = 0 \end{align} Por lo tanto, $$\sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{\cos(n \pi/3)}n = - \dfrac{\cos(\pi/3)}1 = - \dfrac12$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\cos(n\pi/3) = 1/2, \ -1/2, \ -1, \ -1/2, \ 1/2, \ 1, \ 1/2, \ -1/2, \ -1, \ \cdots $$ por lo que tu serie no es más que 3 series alternas (y convergentes) entrelazadas. Ejercicio: Demuestra que si $\sum a_n, \sum b_n$ son ambas convergentes, entonces la secuencia $$a_1, a_1+b_1, a_1+b_1+a_2, a_1+b_1+a_2+b_2, \cdots $$ es convergente. Aplicando que dos veces demuestra que su serie converge.