Rompecabezas: "Sí, el color de mi sombrero es blanco."

Question

Hay $n$ personas en una habitación, cada una con un sombrero de entre al menos $n$ sombreros blancos y $n-1$ sombreros negros. Están en una fila, de manera que cada persona puede ver el color del sombrero de la persona que está delante de ella.

Empezando desde atrás, le preguntamos a cada persona, "¿Sabes cuál es el color de tu sombrero?" Si las primeras $n-1$ personas dicen no, demuestra que la persona del frente dirá "Sí, el color de mi sombrero es blanco."

Answer 1

Estoy suponiendo que cada persona puede ver el color de todos los sombreros que están frente a él.

Si la última persona en la fila dice $no$, entonces todos escuchan su respuesta y saben que hay al menos $1$ sombrero blanco en la cabeza de las primeras $n-1$ personas. De lo contrario, la última persona puede deducir que su propio sombrero es blanco.

Ahora, para la penúltima persona, si no ve ningún sombrero blanco frente a él, entonces sabe que su propio sombrero es blanco. Pero aún así dice $no$, lo que significa que hay al menos un sombrero blanco frente a él. Y su respuesta es escuchada por todos y todos saben que hay al menos un sombrero blanco en la cabeza de las primeras $n-2$ personas.

De manera similar, si una persona dice $no$, esto significa que hay al menos un sombrero blanco frente a ella y todos saben esa información después de escuchar la respuesta.

Así que finalmente el primero sabe que su sombrero es blanco.

Answer 2

Solución:

Sea $p(n)$: Si los primeros $(n-1)$ personas dicen que no, la persona al frente dirá que sí.

Para $n = 1$, no hay sombreros negros $(n-1=1-1=0)$. Por lo tanto, la primera persona dirá "Sí, el color de mi sombrero es blanco".

Supongamos que la afirmación es cierta para $n=k$.

Sea $n=k+1$

Veamos cómo pensaría el hombre que está en frente. Supongamos que mi sombrero es negro, entonces hay $k$ personas con al menos $k$ sombreros blancos y $k-1$ sombreros negros.

Por $p(k)$, dado que las primeras $(k-1)$ personas dijeron que no, la persona detrás de mí debe decir que sí. "Sé que el color de mi sombrero es blanco"

Si él dice no, entonces el color de mi sombrero no puede ser negro. Por lo tanto, es blanco.

Entonces $p(k)$ es verdadero

entonces, $p(k)$ es verdadero $\implies$ $p(k-1)$ es verdadero.

Por lo tanto, ¡se demuestra por el principio de inducción matemática!

Explicación:

Si $n=2$, hay 1 sombrero negro y al menos 2 sombreros blancos. Si la última persona ve que la persona frente a él tiene un sombrero negro, definitivamente dirá "sí, el color de mi sombrero es blanco" ya que solo hay 1 sombrero negro.

Pero si no puede responder, la primera persona pensará lógicamente que la persona detrás de él debe tener un sombrero blanco o negro.

Answer 3

Esto no es una respuesta, ya que hay un problema serio en la formulación.

Como dije en mis comentarios, cada una de las personas debe ser capaz de ver los sombreros de todas las personas delante de él/ella. No solo el sombrero del chico al lado de él/ella.

Déjame explicar por qué con la formulación actual, no funciona ni siquiera para $n=3$.

El primero dirá que no sabe independientemente del color del sombrero del segundo chico. Así que su respuesta NO proporciona ninguna información al segundo y tercer chico. De manera similar, el segundo chico también responderá que no, independientemente de lo que vea en la cabeza del tercer chico, y esto tampoco proporciona información al tercer chico.

Por otro lado, si el primero pudiera ver los sombreros del segundo y tercer chico, entonces al decir que no sabe, el segundo y tercer chico obtienen la información de que el primer chico no ve 2 sombreros negros. Así que si el segundo chico también dice que no sabe, entonces el tercer chico sabrá que su sombrero no es negro, porque si fuera negro, entonces el segundo chico, sabiendo que el primero no ve 2 sombreros negros, su propio sombrero sería blanco. Este argumento se puede generalizar utilizando la inducción para $n$ sombreros blancos y $n-1$ sombreros negros.