¿Cuál es la diferencia entre implicación material e implicación lógica?

Question

Cuando leo las definiciones de implicaciones materiales y lógicas, me parecen bastante equivalentes. ¿Podría alguien darme un ejemplo que ilustre la diferencia?

(Por cierto, no tengo ningún problema con la equivalencia entre $\lnot p \vee q$ y $p \to q$ , también conocido como "si $p$ entonces $q$ ". Mi confusión es con la idea de que hay dos formas diferentes de implicación, la material y la lógica).

Gracias.

Answer 1

Hay un nivel en el que se pueden distinguir. Las siguientes definiciones son relativamente comunes.

• Implicación material es una conectiva binaria que puede utilizarse para crear nuevas frases; así $\phi \to \psi$ es una frase compuesta que utiliza el símbolo de implicación material $\to$ . Alternativamente, en algunos contextos, la implicación material es la función de verdad de esta conectiva.

• Implicación lógica es una relación entre dos frases $\phi$ y $\psi$ que dice que cualquier modelo que haga $\phi$ verdadero también hace $\psi$ verdadero. Esto se puede escribir como $\phi \models \psi$ o a veces, de forma confusa, como $\phi \Rightarrow \psi$ aunque algunas personas utilizan $\Rightarrow$ para la implicación material.

En esta distinción, la implicación material es un símbolo a nivel de objeto, mientras que la implicación lógica es una relación a nivel meta. En otras palabras, la implicación material es una función del valor de verdad de dos oraciones en un modelo fijo, pero la implicación lógica no se refiere directamente a los valores de verdad de las oraciones en un modelo concreto, sino a la relación entre los valores de verdad de las oraciones cuando se consideran todos los modelos.

Existe una estrecha relación entre ambas nociones en la lógica de primer orden. De las definiciones se desprende que si $\phi \to \psi$ se mantiene en todos los modelos, entonces $\phi \models \psi$ y a la inversa, si $\phi \models \psi$ entonces $\phi \to \psi$ es cierto en todos los modelos. Esta relación se vuelve más difusa cuando empezamos a mirar otras lógicas, y en particular puede ser bastante difusa cuando los filósofos hablan de condicionales materiales y de implicación lógica independiente de cualquier sistema formal.

Answer 2

Yo mismo estaba buscando ayuda con esta cuestión y me encontré con este hilo. ¿Tiene sentido mi siguiente explicación?

La vinculación lógica, digamos Γ ⊢ φ. Siendo Γ un conjunto de fórmulas, siendo φ una fórmula (la conclusión), y el torniquete ⊢ significando la vinculación lógica. Por ejemplo, ((P⋀Q) --> R) --> (P --> (Q --> R)) El antecedente ((P⋀Q) --> R) conlleva lógicamente el consecuente (P --> (Q --> R)), y eso es independientemente de los valores de verdad de P, Q y R. En otras palabras, la proposición es una tautología. Así que, en cierto modo, la vinculación lógica significa tautología.

Implicación material, digamos A --> B. A Mcaotnetriinagle nitm psltiactaetmieonnt, dseapye nAd i-n-g> oBn. tAh ec ocnotnitnegnetnst osft aptreompeonsti tdieopnesn dAi nagn do nB .t hEe. gc.o nlteetn tAs boef "pxr o>p o1s0i "t iaonnds lAe ta nBd bBe. "Ex. g>. 3l "e.t xA bbeei n "gx >> 1100 "i sa nsdu flfeitc iBe nbte t "ox e>n s3u "r.e xx bbeeiinngg >> 130. iTsh esruefffoircei eAn tm attoe reinaslulrye ixm pbleiiensg B>. 3H.o wTehveerre,f oirfe iAn smtaetaedr iAa lilsy "ixm p>l i1e0s" Bw. h iHloew eBv eirs, "ixf >i n1s2t "e,a dt hAe ni st h "ex m>a t1e0r "i awlh iilmep lBi ciast i "oxn >m a1y2 "n,o tt hneenc etshsea rmialtye rhioalld iem. pgl.i cwahteino nx miasy 1n1o,t tnheec esstsaatreimleyn th oAl-d- >eB. gf.a iwlhse.n x es 11, el enunciado A-->B falla.

No hay nada inherente a la estructura de A --> B que garantice la verdad del enunciado. La verdad de la proposición es contingente a las interpretaciones de A y B, y también puede ser falsificada por las mismas.

Otro ejemplo de implicación material:

1. A --> B (premisa)
2. A --> C (premisa)
3. A (supuesto para la prueba condicional)
4. B (1,3 MP)
5. C (2,3 MP)
6. B⋀C (4,5 conjunción)
7. Por lo tanto A --> (B⋀C) (3,6 prueba condicional)

Yo pensaría que A --> (B⋀C) es una implicación material, no una vinculación lógica. No hay nada "lógico" en la estructura de A --> (B⋀C) que garantice la verdad del enunciado. En cambio, la afirmación es verdadera sobre la base de las premisas 1 y 2, y la suposición de que A es verdadera, es decir, una afirmación contingente.

Pero sin embargo: ( (A --> B) ⋀ (A --> C) ) ---> ( A --> (B⋀C) ) es una vinculación lógica.

Espero que esto tenga sentido. Se agradecen mucho los consejos y las correcciones.