$\lim_{n \to \infty}\int_0^\infty\left ( \log \left ( {\frac{x+n}{x+\frac{1}{n}}}\right )\right )^2dx$

Question

Dejemos que $n=1,2,...$ y definir $f(n)$ por $$f(n)=\int_0^\infty\left ( \log \left ( {\frac{x+n}{x+\frac{1}{n}}}\right )\right )^2dx$$

Para algunos valores de $n$ , Matehamtica's muestra que $f(n)$ es finito y parece converger a $\infty$ como $n\rightarrow \infty$ .

1 - Cómo encontrar un límite para $f(n)$ ?

2- $f(n)\rightarrow\infty$ , como $n\rightarrow\infty$ ?

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Obsérvese que, con la sustitución $x \mapsto nx$ tenemos

$$\frac{f(n)}{n} = \int_{0}^{\infty} \log^2 \left( \frac{x + 1}{x + n^{-2}} \right) \, dx.$$

Ahora bien, indiquemos

$$h_n (x) = \log^2 \left( \frac{x + 1}{x + n^{-2}} \right) \quad \text{and} \quad h(x) = \log^2 \left( \frac{x + 1}{x} \right).$$

Entonces observamos fácilmente que

1. $h_n (x) \to h(x)$ en el sentido de la palabra y $h_n (x) \leq h(x)$ . De hecho, $$1 \leq \frac{x+1}{x+n^{-2}} \leq \frac{x+1}{x}$$ y la afirmación se deduce al observar que $x \mapsto \log^2 x$ es no negativo creciente en $x \geq 1$ .
2. $h(x)$ es integrable. Es una consecuencia directa de la siguiente estimación: $$\begin{align*} \int_{0}^{\infty} h(x) \, dx &= \int_{0}^{1} h(x) \, dx + \int_{1}^{\infty} h(x) \, dx \\ &= \int_{1}^{\infty} \frac{h(1/x)}{x^2} \, dx + \int_{1}^{\infty} h(x) \, dx \\ &= \int_{1}^{\infty} \frac{\log^2 (1+x)}{x^2} \, dx + \int_{1}^{\infty} \log^2 \left(1 + \frac{1}{x} \right) \, dx \\ &\leq \int_{1}^{\infty} \frac{\log^2 (1+x)}{x^2} \, dx + \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^2} < \infty. \end{align*}$$

Entonces por convergencia dominada obtenemos

$$\frac{f(n)}{n} = \int_{0}^{\infty} h_n(x) \, dx \xrightarrow[]{n\to\infty} \int_{0}^{\infty} h(x) \, dx.$$

(Si se quiere evitar el uso de la convergencia dominada, que requiere algo de teoría de medidas básica, se puede demostrar primero que $h_n(x) \uparrow h(x)$ como $n \to \infty$ en el sentido de la palabra. Entonces por Teorema de Dini en cualquier subconjunto compacto de $(0, \infty)$ tenemos $h_n (x) \to h(x)$ de manera uniforme. Ahora bien, un adecuado $\epsilon-\delta$ argumento dará la misma conclusión).

Esto ya demuestra que

$$f(x) \sim cn$$

para alguna constante $c > 0$ . Para determinar la constante $c$ tenemos que demostrar que

$$\int_{0}^{\infty} h(x) \, dx = \frac{\pi^2}{3}.$$

Pero esto también es sencillo. De hecho, poner $\displaystyle u = \frac{x}{x+1}$ . Entonces $\displaystyle dx = \frac{du}{(1-u)^2}$ y por lo tanto

$$\begin{align*} \int_{0}^{\infty} h(x) \, dx &= \int_{0}^{\infty} \log^2 \left( \frac{x + 1}{x} \right) \, dx = \int_{0}^{1} \frac{\log^2 u}{(1-u)^2} \, du \\ &= \left[ \frac{u}{1-u} \log^2 u \right]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{\log u}{1-u} \, du \\ &= 2 \int_{0}^{\infty} \frac{t}{e^{t}-1} \, dt \qquad (u = e^{-t}) \\ &= 2 \zeta(2) = \frac{\pi^2}{3}. \end{align*}$$

Answer 2

$$\frac{x + n}{x + n^{-1}} = 1 + \frac{n-1}{nx + 1}$$

Utilizando la expansión de $\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^4)$

Vemos que la expansión resultante del integrando es $$\frac{n - 1}{nx + 1} - \frac{(n - 1)^2}{2(n x+ 1)^2} + O\left (\left(\frac{n-1}{nx + 1} \right)\right)^3$$

Elevando esto al cuadrado de nuevo, obtenemos $(\frac{n - 1}{nx + 1})^2 + O((\frac{n-1}{n x + 1})^3)$

La integral del término de la izquierda es simplemente $$\left.-\frac{(n - 1)^2}{n(1 + n x)}\right|^{\infty}_0 = \frac{(n-1)^2}{n}$$