Todos los subespacios invariantes de una transformación lineal

Question

Tengo este problema:

Dejemos que $T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ sea una transformación lineal tal que todos sus valores propios sean 1, 2 y 3 y los correspondientes vectores propios son $v_1, v_2$ y $v_3$ respectivamente, Encuentra todos los subespacios invariantes T de $\mathbb{R}^3$

Lo he encontrado:
Todos los subespacios invariantes T de dimensión 0 son: $\{0\}$
Todos los subespacios invariantes T de dimensión 1 son: $span\{v_1\}$ $span\{v_2\}$ y $span\{v_3\}$
Todos los subespacios invariantes T de dimensión 3 son: $\mathbb{R}^3$

¿Cómo puedo demostrar que todos los subespacios invariantes T de dimensión 2 son: $span\{v_1,v_2\}$ $span\{v_1,v_3\}$ y $span\{v_2,v_3\}$
En otras palabras, ¿cómo puedo demostrar que estos son TODOS los subespacios invariantes T de 2 dimensiones y que no hay otros subespacios invariantes T de 2 dimensiones?

Answer 1

Proposición: Si $v_1,v_2,..,v_n$ son vectores propios de $T:V\to V$ correspondientes a valores propios distintos y $W$ es un subespacio T-invariante de V tal que $\sum_{i=1}^nv_i\in W$ entonces $v_i\in W \space \forall i\in\{1,2,..,n\} $ .

Prueba:Sea $\lambda_i$ sea el valor propio correspondiente a $v_i$ y I sea la transformación de identidad en $V$ .

$$\sum_{i=1}^{m}v_i\in W\Rightarrow (T-\lambda_{m}I)\sum_{i=1}^{m}v_i\in W\text{ (as W is T-invariant)}\Rightarrow \sum_{i=1}^{m-1}(\lambda_{i}-\lambda_{m})v_{i}\in W\\ \Rightarrow (T-\lambda_{m-1}I)\sum_{i=1}^{m-1}(\lambda_{i}-\lambda_{m})v_i\in W\Rightarrow \sum_{i=1}^{m-2}(\lambda_{i}-\lambda_{m})(\lambda_i-\lambda_{m-1})v_{i}\in W\Rightarrow ...\\ \Rightarrow v_1\prod_{i=2}^{m}(\lambda_1-\lambda_i)\in W\Rightarrow v_1\in W\text{ (as $\lambda_i$ are distinct, $\prod_ {i=2}^{m}( \lambda_1 - \lambda_i ) $ is non-zero)}\\ \text{and } \sum_{i=2}^nv_i\in W\;[\;\because\text{ W is a linear subspace}\;]$$ Repitiendo el mismo proceso vemos que la proposición es verdadera.

Como $v_1,v_2,v_3$ corresponden a valores propios distintos, son linealmente independientes y, en consecuencia, forman una base para $\mathbb{R}^3$ . $v$ es un vector propio de $T\Rightarrow cv$ es un vector propio de T correspondiente al mismo valor propio si $c$ es distinto de cero. Por lo tanto, si W es un $2$ -subespacio T-invariante y $a,b\neq 0$ , $av_i+bv_j\in W\Rightarrow av_i,bv_j\in W\Rightarrow v_i,v_j\in W\Rightarrow W=span\{v_i,v_j\}$ .

Answer 2

Dejemos que $M$ sea un subespacio invariante de dimensión 2. Como $T$ es invariante en el espacio, como consecuencia del teorema fundamental del álgebra, $T|_M$ tiene un valor propio, que es uno de $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ . Así que $M$ incluirá uno de $v_1, v_2, v_3$ , digamos que $v_1$ . Añadir un elemento lineal independiente para obtener una base $\{v_1, w\}$ de $M$ se puede mostrar $sp\{w\}$ es un espacio invariante de $T$ . Con un argumento similar, se puede ver $w$ es otro vector propio, o uno de $v_2, v_3$ .