Sé que es un corolario muy común de la ecuación de clase. Y sé cómo hacerlo utilizando la ecuación de clase.
¿Pero puedes hacerlo bu usando acción de grupo, tal vez encontrar un buen conjunto para que G actúe sobre él?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Sea $G$ sea un finito no trivial $p$ -grupo.
Es posible demostrar sin la ecuación de clase que en $G$ el número de subgrupos de orden $p$ est $\equiv 1 \mod{p}$ . Por ejemplo, podríamos utilizar la demostración de McKay del teorema de Cauchy. De aquí se deduce que el número de subgrupos normales de orden $p$ es también $\equiv 1 \mod{p}$ ya que el número de subgrupos no normales de orden $p$ est $\equiv 0 \mod{p}$ . Esto se puede ver teniendo $G$ actúan sobre los subgrupos no normales por conjugación, cada órbita tiene tamaño $p^k$ para algunos $k > 0$ .
Así $G$ contiene un subgrupo normal $N$ de orden $p$ . Por el lema normalizador-centralizador, existe un homomorfismo $f: G \rightarrow \operatorname{Aut}(P)$ avec $\operatorname{Ker}(f) = C_G(N)$ . Ahora $\operatorname{Aut}(P) \cong \mathbb{Z}_p^*$ tiene orden $p-1$ que es coprimo de $p$ Así que $C_G(N) = G$ sigue por $G / \operatorname{Ker}(f) \cong f(G)$ y el teorema de Lagrange. Así, $N \leq Z(G)$ lo que demuestra que $Z(G)$ no es trivial.
Por supuesto, demostrar este teorema de esta manera es bastante tonto. Esto es sólo una suposición y mi opinión, pero me siento como la única manera fácil de demostrar esto es con la ecuación de clase.
clintp
Puntos
5127
Consideremos la acción de $G$ sobre sí mismo por conjugación. Sea $\chi_1,\ldots,\chi_n$ sean las órbitas de $G$ en el marco de esta acción. Dado que $G$ es un $p$ -todas las órbitas deben tener orden $1$ o algún poder de $p$ . Pero $$|G|=\sum\limits_{i=1}^n |\chi_i|$$ así que como el LHS es divisible por $p$ el lado derecho es divisible por $p$ también. Dado que todos los $|\chi_i|$ que no son divisibles por $p$ son $1$ el número de tales $|\chi_i|$ debe ser divisible por $p$ . Así que no hay $\chi_i$ de cardinalidad $1$ o al menos $p$ . Pero $\chi_i$ de cardinalidad $1$ corresponden precisamente a elementos del centro, y puesto que $e$ está en el centro hay al menos $1$ . Así que hay al menos $p$ .
