La acumulación de puntos de conjuntos

Question

Determinar todos los de la acumulación de puntos de los siguientes conjuntos en $\mathbb{R}^1$ y decidir si los conjuntos son abiertos o cerrados, o ninguno.

Tengo dos problemas con los siguientes problemas primero de todos considere el siguiente conjunto de $S = \left\{\frac{1}{m}: m \in \mathbb{N}\right\}$ I ya han demostrado $0$ es punto de acumulación.

Mi reclamo es que $0$ es el único punto de acumulación. Me vino con la siguiente afirmación: supongamos que el único intervalo que puede causar problemas es $(0,1)$ (ya he comprobado que los puntos fuera de $(0,1)$ no puede ser la acumulación de puntos).

Por lo tanto, vamos a $y \in (0,1)$ deje $m$ ser el más pequeño $m$ tal que $y \geq \frac{1}{m}$. Mi reclamo es que $r := y - \frac{1}{m}$.

Si hacemos uso de $r$, según mi intuición, a continuación,$(B(y,r) - {y})\cap S = \emptyset$, sin embargo, yo no puedo probarlo, así que tal vez está mal.

Estoy probando solo el uso de punto-conjunto de topología.

Así que he decidido editar la pregunta para mostrar la prueba de que creo que es totalmente rigurosa, tal vez sería de beneficio para la gente en el futuro: Prueba:

Sea m el entero más pequeño tal que $y > \frac{1}{m}$

Considere la posibilidad de $r := min(y - \frac{1}{m},\frac{1}{m - 1} - y)$

Una cosa debemos aclarar aquí es que no podemos tener, por definición, los siguientes que se $\frac{1}{m - 1} < y$ de acuerdo a lo que define mi m.

Supongamos $r = y - \frac{1}{m} \implies B(y,r) = (\frac{1}{m},2y - \frac{1}{m})$.

Ahora voy a llegar a una contradicción suponiendo que $\frac{1}{q} \in (\frac{1}{m},2y - \frac{1}{m})$.

Esto significa que $\frac{1}{q} > \frac{1}{m} \& \frac{1}{q} < 2y - \frac{1}{m - 1}$, sin embargo por hipótesis tenemos $min(y - \frac{1}{m},\frac{1}{m - 1} - y) = y - \frac{1}{m} \implies y - \frac{1}{m} < \frac{1}{m - 1} - y \implies 2y - \frac{1}{m} < \frac{1}{m - 1} \implies \frac{1}{q} < 2y - \frac{1}{m - 1} < \frac{1}{m - 1}$

Por lo $q$ debe ser menor que $\frac{1}{m}$ que es la contradicción de la construcción que es el hecho de que $m$ es el entero más pequeño tal que $y > \frac{1}{m}$

Answer 1

Alternativamente, usted puede usar el hecho de que:

$a \in \mathbb R$ punto de acumulación de a $S \iff \forall r>0:\; B(a,r) \cap S$ es infinito,

lo que muestra claramente que el $0$ es el único punto de acumulación de a $S$

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• Si $x \in (0,1) \setminus S$, entonces siempre se puede encontrar una $n_x \in \mathbb N$, de tal manera que $$\dfrac {1}{n_x+1} < x < \dfrac{1}{n_x}.$$

Considere la posibilidad de cualquier $r < \min\left\{ x-\dfrac{1}{n_x+1},\, \dfrac {1}{n_x}-x\right\}$. Por lo tanto, por definición tenemos: $$\big(B(x,r)-\{x\}\big) \cap S = \emptyset.$$

• En el caso de $x$ es de la forma $x=\dfrac 1n,$ algunos $n\in \mathbb N$, entonces usted puede optar $r <\dfrac 1 {n+1}$ y llegará al mismo resultado.

Así que probó que no hay ningún punto en $(0,1)$ puede ser un punto de acumulación de a $S$.

Answer 2

Una cosa: cuando la construcción de un balón, asegúrese de que su radio es mayor que 0. En su prueba, usted podría querer decir $y>\frac 1m$ en lugar de $y \geq \frac 1m$.

No creo que lo que escribí es cierto, porque aunque si $\frac 1 m$ es el mayor elemento en $S$ menos de lo que se $y$, entonces no hay elementos de $S$ en el intervalo de $(\frac 1 m,y)$, no se puede garantizar que a la derecha de $y$ dentro de una distancia de $y-\frac 1m$ no habrá elementos de $S$.

Por ejemplo, tome $m=3$ y deje $y = \frac{11}{24}$. A continuación, el open de bola de $B(y, y-\frac 1m) = (\frac 13, \frac{7}{12})$, que contiene $\frac 12$.

Esto sucedió porque la $y$ era más que otro elemento de la $S$$\frac 1m$, para eliminar el error puede definir $r$ a ser la distancia entre el $y$ y el elemento de $S$ que es la más cercana a ella.

Formalmente, vamos a $r = $min$(\lvert y-\frac 1m\rvert,\lvert y-\frac{1}{m-1}\rvert)$ donde $m>1$ porque de lo contrario $y \notin (0,1)$.

Answer 3

Observar que los conjuntos de $\left(\frac{1}{m+1}, \frac{1}{m}\right)$ están abiertos y $$\bigcup_{m=1}^\infty \left(\frac{1}{m+1}, \frac{1}{m}\right) = (0,1) \setminus S$$

Por lo tanto, para cualquier punto $y \in (0,1) \setminus S$, $y$ se encuentra en uno de los conjuntos de decir $\left(\frac{1}{m+1}, \frac{1}{m}\right)$. Por la definición de un conjunto abierto, hay algunos $r$, de modo que $B(y,r) \subseteq \left(\frac{1}{m+1}, \frac{1}{m}\right)$, de modo que tal $y$ no puede ser un punto de acumulación.

Para mostrar que no hay punto de $S$ es un punto de acumulación, aplicar el mismo razonamiento con los conjuntos de $\left(\frac{1}{m+1}, \frac{1}{m-1}\right)$, cada uno de los cuales contiene exactamente un punto de $S$.