Lo que garantiza la existencia de unitario operadores de la aplicación de Transformaciones de Lorenz?

Question

Esta debe ser una pregunta muy básica. En introductorio QFT libros, a menudo una de las primeras cosas que vemos es la siguiente afirmación: para cada transformación de Lorentz $\Lambda$, podemos asociar un operador unitario $U(\Lambda)$ tal forma que: $$ U(\Lambda)^{-1} \varphi(x) U(\Lambda)= \varphi(\Lambda^{-1}x)$$ Y exigimos también que para ser un homomorphism, $U(A)U(B)=U(AB)$.

Donde, por supuesto, $\varphi$ es un operador de valores de campo cuántico.

Quiero saber lo que garantiza la existencia de asignaciones $U$ que satisfacen estas condiciones.

Parece que no debería ser posible elegir un operador de campo $\varphi$ tal de que ningún conjunto de operadores $U(\Lambda)$ existen. Es la existencia de $U$ dado por algunos requisito de campos cuánticos, o me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Su última frase responde a su pregunta.

Podemos observar la simetría de Lorentz en las leyes de la naturaleza. Por lo tanto, exigimos que los bloques de construcción de nuestra teoría de la transformación, en definitiva representaciones de Lorentz (o más bien de Poincaré) del grupo.

¿Permitiría usted que los campos que no son representaciones del grupo de Lorentz, sería muy difícil construir una teoría que se ve invariante de Lorentz.

Answer 2

Yo reclamo que

En cualquier relativista de la teoría cuántica, transformaciones de Lorenz de los estados debe ser realizada como un proyectiva, unitaria representación del grupo de Lorentz que actúa sobre el espacio de Hilbert de la teoría.

He aquí la lógica:

1. En cualquier relativista de la teoría, las observaciones del espacio-tiempo de los eventos de los observadores inerciales están relacionadas por la transformación de Lorentz.

2. Nos preguntamos cómo las observaciones de los estados cuánticos, es decir, los elementos de algún espacio de Hilbert $\mathcal H$ que los modelos de un determinado sistema cuántico, de diferentes observadores inerciales están relacionados. En términos matemáticos, para cada transformación de Lorentz $\Lambda$, nos gustaría asociar una función de $f_\Lambda:\mathcal H\to\mathcal H$ que si $|\psi\rangle$ es el estado medido por un observador inercial, a continuación, $f_\Lambda |\psi\rangle$ es el estado medido por el observador inercial cuyo espacio-tiempo observaciones están relacionadas con la primera por la transformación de Lorentz $\Lambda$.

3. Nos damos cuenta de que todo lo $f_\Lambda$ es, debe conservar la mecánica cuántica probabilidades de transición. En otras palabras, para cada $\Lambda$, $f_\Lambda$ debe ser una simetría en la general de la mecánica cuántica sentido definido por la preservación de las probabilidades de transición.

4. Recordemos que el Teorema de Wigner garantiza que cualquier simetría puede ser representado por un unitario o anti-unitaria operador de fase.

5. Sostenemos no $f_\Lambda$ puede ser anti-unitaria (de hecho, me han olvidado los convencionales argumento para esto, tal vez usted puede tratar de llenar este detalle antes de que lo haga). Así que usamos la notación $f_\Lambda = U(\Lambda)$ lugar para hacer énfasis en esto.

6. Consideramos tres observadores inerciales $A$, $B$, y $C$. Dejamos $\Lambda_{ij}$ ser la transformación de Lorentz que conecta el espacio-tiempo de las mediciones de calidad de observador $j$ a los de $i$, de modo que, por ejemplo, $\Lambda_{AB}$ es la transformación de Lorentz que conecta el espacio-tiempo de observación de observadores $B$ a los de $A$.

7. Tomamos nota de que el estado de las mediciones de calidad de observadores $A$ $C$ están relacionados por $U(\Lambda_{AC})$. Por otra parte, esperamos que si queremos transformar el estado de las mediciones de calidad de observador $A$ a los de $B$$U(\Lambda_{AB})$, y luego transformar esas medidas a los de $C$$U(\Lambda_{BC})$, a continuación, se debe obtener la misma respuesta de fase (también conocido como un equivalente físicamente estado), es decir, \begin{align} U(\Lambda_{AC}) = c(\Lambda_{BC}, \Lambda_{AB})U(\Lambda_{BC})U(\Lambda_{AB}). \end{align} donde la "fase" parte proviene del hecho de que los estados que se diferencian por una fase son físicamente equivalentes en la mecánica cuántica. Pero ahora se nota que $\Lambda_{AC} = \Lambda_{BC}\Lambda_{AB}$, por lo que tenemos la homomorphism de la propiedad fase \begin{align} U(\Lambda_{BC}\Lambda_{AB}) = c(\Lambda_{BC}, \Lambda_{AB})U(\Lambda_{BC})U(\Lambda_{AB}) \end{align} y estamos, por lo tanto,.

8. Post relacionados (para comprender mejor el "proyectiva" parte): la Idea de Cubrir Grupo