He estado estudiando la construcción de los Espacios Vectoriales Libres y quiero confirmar si mis conclusiones son correctas. Dado un conjunto $A$ deseamos construir un espacio vectorial $F(A)$ que intuitivamente es el espacio vectorial cuyos elementos son combinación lineal de $A$ (en otras palabras, pensamos en $F(A)$ como el espacio vectorial que tiene $A$ como base).
Bueno, el problema aquí es que $A$ es sólo un conjunto, sin operaciones adicionales definidas sobre sus elementos. Así que lo que hacemos es considerar funciones indicadoras $\delta_a : A \to \left\{0,1\right\}$ tal que $\delta_a(x) = 1$ si $x = a$ y $\delta_a(x) = 0$ si no.
Entonces consideramos el conjunto $F(A)$ de todas las funciones con soporte finito en $A$ . Esto parece muy natural: las propias funciones indicadoras están en $F(A)$ ya que tienen un apoyo finito. En este caso, $\delta_a\in F(A)$ es el "representante" de $a \in A$ en $F(A)$ .
Ahora, para esas funciones podemos definir su suma y multiplicación por escalar de forma natural puntual. Ahora, cada $\delta_a$ representa algún elemento de $A$ y las combinaciones lineales de esas funciones representan las combinaciones lineales de los elementos de $A$ que queríamos definir.
Como todas las funciones con soporte finito pueden expresarse como combinación lineal de esas funciones indicadoras, y como son linealmente independientes, podemos decir que efectivamente forman una base para el espacio. Y entonces podemos comprobar que el conjunto $F(A)$ con las operaciones definidas realmente est un espacio vectorial.
Con todo esto, dado un conjunto $A$ hemos construido con éxito un espacio vectorial $F(A)$ que intuitivamente tiene todas las combinaciones lineales de los elementos de $A$ . Y como $\delta_a$ representa el elemento $a \in A$ normalmente nos olvidamos del delta, y sólo escribimos $a \in F(A)$ .
¿Es todo esto correcto? ¿Mi comprensión de la construcción es realmente correcta? Muchas gracias por su ayuda.
