Medida de Lebesgue en $L^2$

Question

Esto vino de un antiguo examen de calificación para la teoría de la medida:

Supongamos que $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es monótonamente creciente y absolutamente continua, y deje $f'$ denotar su Lebesgue una.e. define la derivada.

un.) Demostrar que si $f'\in L^2(m)$ ($m$ es la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$), a continuación, hay un $C < \infty$ tal que para cada Lebesgue medibles conjunto $E$ $$m(f(E)) \leq C(m(E))^{1/2}$$

b.) Proporcione un contraejemplo para mostrar que si que en lugar de asumir la $f'\in L^1(m)$ a $C$ no puede existir.

Normalmente no me publique una pregunta sin un poco de lo que de un intento, pero realmente no tengo idea de cómo hacer esto. Cualquier sugerencias o comentarios son muy apreciados, voy a editar esta vez creo que de algo.

Answer 1

En caso de $(a)$, $$ m(f(E))=\int_{y\f(E)}1\ dy. $$ Sustituto $y=f(x)$. A continuación, $$ m(f(E))=\int_{x\in E}f'(x)\, dx\leq\left(m(E)\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int|f'(x)|^{2}\, dx\right)^{\frac{1}{2}}=C\left(m(E)\right)^{\frac{1}{2}}. $$ Aquí, el Titular de la desigualdad es usado y $C=\left(\int|f'(x)|^{2}\ dx\right)^{\frac{1}{2}}<\infty$ desde $f'(x)\in L^{2}$.

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Para $(b)$, Sugerencia : $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} $$ con $E=(0,1)$.

Answer 2

El primero sigue por Cauchy Schwarz: $(\int_Ef'dm)^2=(\int f'1_Edm)^2\leq (\int f'^2dm)(\int1_E^2dm)=||f'||_2^2(m(E))$ así que tome $C=||f'||_2$

Para la siguiente parte, ver el $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ $x\in (0,1]$ $0$ lo contrario. A continuación, $f\in L^1(m)$ pero $\notin L^2(m)$. A continuación, $f((0,1])=[1,\infty)$ y claramente $m(f((0,1])=\infty$ lo que implica que no hay tal $C$ $m((0,1])=1$