Una igualdad en espacios de Hilbert

Question

Para entender una prueba en el análisis funcional necesito entender por qué la ecuación siguiente es verdadero:

$$\lVert x\rVert^2 - \sum_{j=1}^n |x_i|^2 = \Biggl\lVert x-\sum_{i=1}^nx_ie_i\Biggr\rVert^2$$

Donde $x\in H$ ($H$ un espacio de Hilbert) y $x_i= \langle x,e_i\rangle$ $e_i$ es un ortonormales sistema.

Puede alguien explicar por qué esta igualdad es verdadera?

Gracias de antemano!

Answer 1

$$\begin{align} \left\|x-\sum \limits_{i=1}^{n}\langle x,e_i\rangle e_i\right\|^2&=\langle x-\sum \limits_{i=1}^{n}\langle x,e_i\rangle e_i\,,x-\sum \limits_{i=1}^{n}\langle x,e_i\rangle e_i\ \rangle \\ &=\langle x,x\rangle+\underbrace{\langle \sum \limits_{i=1}^{n}\langle x,e_i\rangle e_i,\sum \limits_{i=1}^{n}\langle x,e_i\rangle e_i\rangle}_{\text{(by Pythagoras Theorem)}}-\langle x,\sum \limits_{i=1}^{n}\langle x,e_i\rangle e_i\rangle-\langle \sum \limits_{i=1}^{n}\langle x,e_i\rangle e_i,x\rangle \hspace{-10 mm} \\ &=\|x\|^2+\sum\limits_{i=1}^{n}|\langle x,e_i\rangle|^2\|e_i\|^2-\sum \limits_{i=1}^{n}\overline{\langle x,e_i\rangle}\langle \overline{e_i},\overline{x}\rangle-\sum \limits_{i=1}^{n}\langle x,e_i\rangle\langle e_i,x\rangle \\ &=\|x\|^2+\sum\limits_{i=1}^{n}|\langle x,e_i\rangle|^2-\sum\limits_{i=1}^{n}|\langle x,e_i\rangle|^2-\sum\limits_{i=1}^{n}|\langle x,e_i\rangle|^2 \\ &=\|x\|^2-\sum\limits_{i=1}^{n}|\langle x,e_i\rangle|^2 \end{align}$$

Answer 2

Para $1\le j\le n$, $$\begin{align} \left\langle x-\sum_{k=1}^n\langle x,e_k\rangle e_k,x\right\rangle &=\langle x,x\rangle-\sum_{k=1}^n\langle x,e_k\rangle\langle x,e_k\rangle\\ &=\|x\|^2-\sum_{k=1}^n\langle x,e_k\rangle^2\tag{1} \end{align}$$ y $$\begin{align} \left\langle x-\sum_{k=1}^n\langle x,e_k\rangle e_k,e_j\right\rangle &=\langle x,e_j\rangle-\sum_{k=1}^n\langle x,e_k\rangle\overbrace{\langle e_k,e_j\rangle}^{\delta_{j,k}}\\ &=\langle x,e_j\rangle-\langle x,e_j\rangle\\[9pt] &=0\tag{2} \end{align}$$ Armando $(1)$ $(2)$ rendimientos $$\begin{align} \left\|x-\sum_{k=1}^n\langle x,e_k\rangle e_k\right\|^2 &=\left\langle x-\sum_{k=1}^n\langle x,e_k\rangle e_k,x-\sum_{k=1}^n\langle x,e_k\rangle e_k\right\rangle\\[6pt] &=\|x\|^2-\sum_{k=1}^n\langle x,e_j\rangle^2\tag{3} \end{align}$$

Answer 3

Lo principal: $y = y_1 + \ldots + y_m$ e las $y_i$'s son paiwise ortogonal ( orthogonal descomposición), entonces: $$||y||^2 = ||y_1||^2 + \cdots + ||y_m||^2$$

Es fácil comprobar que si $e_1$, $\ldots$, $e_n$ es una $\it{orthonormal}$ familia $x - \sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i$ es perpendicular a todas las $e_i$'s y así tenemos la descomposición ortogonal $$x = \sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i + (x - \sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i)$$ y por lo $||x||^2 = \sum ||\langle x, e_i \rangle e_i ||^2 + ||x - \sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i||^2$, que es

$$||x||^2 = \sum |\langle x, e_i \rangle|^2 + ||x - \sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i||^2$$

Igualmente tenemos para cualquiera escalares $\delta_i$

$$||x - \sum \delta_i e_i||^2 = \sum_i |\delta_i - \langle x, e_i \rangle|^2 + ||x - \sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i||^2$$

por lo $\sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i$ es el (único) punto más cercano a $x$ en el lapso de $e_i$.