Dado que $n$ es un número de cortesía lo que significa que se puede expresar como la suma de dos o más enteros positivos consecutivos, ¿cuántas formas diferentes hay de expresar $n$ como la suma de al menos dos enteros positivos consecutivos? ¿Puedes demostrar que el método que describes funciona?
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La cortesía de un número positivo se define como el número de formas en que puede expresarse como la suma de enteros consecutivos. Para cada x, la cortesía de x es igual al número de divisores Impares de x que son mayores que uno.
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Una forma fácil de calcular la cortesía de un número positivo es la de descomponer el número en sus factores primos, tomar las potencias de todos los factores primos mayores que 2, sumar 1 a todos ellos, multiplicar los números así obtenidos entre sí y restar 1.
Creo que voy a decir una o dos palabras acerca de por qué mirar los divisores Impares funciona. Si $x$ es una suma de un número impar $k$ de enteros positivos consecutivos con término medio $d$ entonces $x=kd$ . Por el contrario, si $k>1$ es un divisor impar de $x$ y $x=kd$ con $d-\frac{k-1}{2} > 0$ entonces $x$ es la suma de $k$ enteros consecutivos con término medio $d$ . Por ejemplo, si $x=6$ , entonces este proceso relaciona el divisor impar $k=3$ de $x$ con la suma de tres términos centrada en $d=\frac{6}{3}=2$ , a saber $6=1+2+3$ .
Parece que necesitamos una biyección diferente para las sumas de un incluso número de enteros positivos consecutivos. Pero en realidad, podemos forzar la misma biyección para que funcione de todos modos, simplemente cancelando todos los términos negativos. Por ejemplo, si $x=27$ y $k=9$ entonces obtenemos ingenuamente una suma de nueve términos centrada en $d=\frac{27}{9}=3$ , a saber $27 = (-1)+0+1+2+3+4+5+6+7$ . Pero al desechar los tres primeros términos nos da $27=2+3+4+5+6+7$ . Así que esta suma de longitudes pares corresponde al divisor impar $9$ de $27$ .
