Al simplificar $\sin(\arctan(x))$, ¿por qué no se considera el $x$ negativo?

Question

Sea $u = \arctan(x)$, entonces $x = \tan(u)$ para $u$ pertenece a $(-\frac\pi2, \frac\pi2)$. Dado que $u$ pertenece a $(-\frac\pi2, \frac\pi2)$, consideramos $\sin(u)$ donde $u$ pertenece a $(-\frac\pi2, \frac\pi2)$.

Utilicé el círculo unitario para determinar que la hipotenusa es $\sqrt{x^2 + 1}$ y obtuve una respuesta $\sin(u) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ cuando considero que el ángulo $u$ está entre $(0, \frac\pi2)$.

Eso es lo que dice mi libro de texto también. Sin embargo, ¿por qué no consideramos también cuando $x$ es negativo, y el ángulo $u$ está entre $(-\frac\pi2, 0)$?

Answer 1

Un ángulo $\theta$ se dice que está en posición estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial se encuentra en el eje $x$ positivo.

El circulo unitario es el círculo con radio $1$ y centro en el origen del plano coordenado.

Definimos el coseno y el seno de un ángulo en posición estándar como, respectivamente, la coordenada $x$ y la coordenada $y$ del punto donde el lado terminal del ángulo interseca el círculo unitario. Definimos la tangente de un ángulo en posición estándar como la coordenada $y$ del punto donde el lado terminal del ángulo interseca la línea $x = 1$. Ver el diagrama a continuación.

Si $\theta = \arctan x$, entonces $\tan\theta = x$ y $-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}$. Por lo tanto, podemos dibujar un triángulo rectángulo en el primer cuadrante o cuarto cuadrante, como se muestra a continuación.

Si $x > 0$, dibujamos un triángulo rectángulo en el primer cuadrante con un lado opuesto de longitud $|x| = x$, un lado adyacente de longitud $1$, y una hipotenusa de longitud $\sqrt{1 + x^2}$.

Si $x < 0$, dibujamos un triángulo rectángulo en el cuarto cuadrante con un lado opuesto de longitud $|x| = -x$, un lado adyacente de longitud $1$, y una hipotenusa de longitud $\sqrt{1 + x^2}$.

Si $x = 0$, dibujamos el segmento de línea de $0$ a $1$ en el eje $x$ positivo. El lado opuesto tiene una longitud de $|x| = |0| = 0$, el lado adyacente tiene una longitud de $1$, y la hipotenusa tiene una longitud de $\sqrt{1 + x^2} = \sqrt{1 + 0^2} = \sqrt{1} = 1.

En cada caso, el lado terminal del ángulo interseca la línea $x = 1$ en el punto $(1, x)$ (sí, estoy usando $x$ de dos maneras diferentes aquí), por lo que la tangente del ángulo es $x$.

Encontramos el seno del arcotangente de $x$ dividiendo la coordenada $y$ del punto $(1, x)$ por su distancia al origen. Por lo tanto, en cada caso,

$$\sin[\arctan(x)] = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$$

Nota que como el denominador siempre es positivo, el signo de $\sin[\arctan(x)]$ es igual al signo de $x.

Dado que el numerador de $\sin[\arctan(x)]$ es la coordenada $y$ del punto $(1, x)$ en lugar de la longitud del lado opuesto del ángulo $\theta$, obtenemos el mismo resultado cuando dibujamos el triángulo en el cuarto cuadrante como lo hacemos si lo dibujamos en el primer cuadrante.

Answer 2

Dibuja el triángulo rectángulo.

Lado opuesto = x, lado adyacente = 1, hipotenusa= $\sqrt{1+x^2}$, entonces

$$\sin(...) = \pm \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$

dos signos debido a $\sqrt ..$

EDIT1

¿Por qué el doble signo? $\pm$ Es fácil de ver. Arctan tiene dos signos. Puede ser $x$ o $x + \pi$ x>0 El seno de este argumento es positivo si está en el primer cuadrante y negativo si está en el tercero. x< 0 El seno de este argumento es negativo si está en el primer cuadrante y positivo si está en el tercero. Mientras simplificamos de ninguna manera hemos descuidado el signo negativo.

Answer 3

Si $-\frac\pi2\lt u\lt\frac\pi2$, entonces $\cos(u)\gt0$. Por lo tanto, si $\tan(u)=x$, entonces $\cos(u)=\frac1{\sqrt{1+x^2}}$.

Así, si $\arctan(x)=u$, entonces $$\begin\align \sin(u) &=\tan(u)\cos(u)\\ &=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \end\align$$ Además, dado que $\sin(x)$ y $\arctan(x)$ son funciones impares, $$\sin(\arctan(-x))=-\sin(\arctan(x))$$

Answer 4

Usar $x$ en $u = \arctan x$ y luego referirse al plano $xy$ hace que $x$ tenga dos significados diferentes.

Intenta $\theta = \arctan t$

Puedes dibujar una imagen de $\theta = \arctan t$ considerando el triángulo debajo con vértices en $(0,0), (1,0), \text{y} \ (1,t)$. El círculo unitario no es necesario. Ten en cuenta que la imagen implica $\sin \theta = \dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}}$, y el signo se maneja correctamente por el signo de $t$. Si tu libro dice lo contrario, entonces está equivocado.

Answer 5

Para agregar información adicional respecto al comentario del usuario 46234, también podemos entender la omisión de un signo $\pm$ como una simple consecuencia del álgebra.

Aquí están las piezas relevantes de información para concluir esto:

• Por definición, $\sqrt{x^2}=|x|$

• $\arctan$ es una función estrictamente creciente limitada entre $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$

• $\arctan(0)=0$

• $\sin(x) \geq0$ si $x \in [0,\frac{\pi}{2})$ y $\sin(x) \lt 0$ si $x \in (-\frac{\pi}{2},0)$

• $\cos(x) \gt 0$ si $x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$

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Trabajando hacia adelante desde los puntos con viñetas anteriores:

Sea $y=\arctan(x)$. Sabemos que $y \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$. Por definición, $\tan(y)=\tan\circ \arctan(x)=x \implies \frac{\sin(y)}{\cos(y)}=x$

Para simplificar aún más, usamos la identidad pitagórica $\cos^2(y)+\sin^2(y)=1 \implies \cos^2(y)=1-\sin^2(y)$. Tomando la raíz cuadrada de ambos lados obtenemos: $|\cos(y)|=\sqrt{1-\sin^2(y)}$. Notando que $y \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, lo que significa que $\cos(y) \gt 0$... y por lo tanto $|\cos(y)|=\cos(y)$, entonces tenemos que $\cos(y)=\sqrt{1-\sin^2(y)}$.

Luego tenemos que $x=\frac{\sin(y)}{\sqrt{1-\sin^2(y)}}$. Rearreglando y luego elevando al cuadrado obtenemos $\big(1-\sin^2(y)\big)\cdot x^2=\sin^2(y)$. Dado que $x=\tan(y)$, podemos usar la expresión de la tangente de la identidad pitagórica para simplificar aún más: $1+\frac{\sin^2(y)}{\cos^2(y)}=\frac{1}{\cos^2(y)} \implies1+\tan^2(y)=\frac{1}{1-\sin^2(y)} \implies \frac{1}{1+\tan^2(y)}=1-\sin^2(y) \implies\frac{1}{1+x^2}=1-\sin^2(y)$. Notar que para aplicar esta sustitución, necesitamos asegurarnos de que $\cos(y) \neq 0$... sin embargo, dado que $y \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, sabemos que $\cos(y) \neq 0$. Luego podemos aplicar la sustitución relevante que nos da:

$$\frac{x^2}{1+x^2}=\sin^2(y)$$

Tomando la raíz cuadrada de esta expresión obtenemos:

$$\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}}=|\sin(y)| \quad (\dagger_1)$$

Ahora, supongamos que $x \geq 0$. Entonces $y \in [0,\frac{\pi}{2})$. Sabemos que $\sin(y) \geq 0$, por lo que debemos tener que $|x|=x$ y $|\sin(y)|=\sin(y)$. Bajo estas circunstancias, $(\dagger_1)$ es simplemente $\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\sin(y)$.

Luego, supongamos que $x \lt 0$. Entonces $y \in (-\frac{\pi}{2},0)$. Sabemos que $\sin(y) \lt 0$, por lo que debemos tener que $|x|=-x$ y $|\sin(y)|=-\sin(y)$. Bajo estas circunstancias, $(\dagger_1)$ es $\frac{-x}{\sqrt{1+x^2}}=-\sin(y)$, lo cual por supuesto puede reescribirse como $\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\sin(y)$.

Por lo tanto, en todos los casos relevantes, debemos tener que $\sin(\arctan(x))=\sin(y)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$