12 votos

Al simplificar $\sin(\arctan(x))$, ¿por qué no se considera el $x$ negativo?

Sea $u = \arctan(x)$, entonces $x = \tan(u)$ para $u$ pertenece a $(-\frac\pi2, \frac\pi2)$. Dado que $u$ pertenece a $(-\frac\pi2, \frac\pi2)$, consideramos $\sin(u)$ donde $u$ pertenece a $(-\frac\pi2, \frac\pi2)$.

Utilicé el círculo unitario para determinar que la hipotenusa es $\sqrt{x^2 + 1}$ y obtuve una respuesta $\sin(u) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ cuando considero que el ángulo $u$ está entre $(0, \frac\pi2)$.

Eso es lo que dice mi libro de texto también. Sin embargo, ¿por qué no consideramos también cuando $x$ es negativo, y el ángulo $u$ está entre $(-\frac\pi2, 0)$?

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Creo que es correcto, incluso para (-/2,0)

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Cuando $x<0$ y $u\in\left(-\frac{\pi}{2},0\right)$, el seno también es negativo. Pero en ese caso, también tenemos $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}<0$. Así que afortunada o coincidentemente, $\sin (\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ siempre es verdadero. Lo mismo ocurre para $\cos (\arctan x)$, donde nuevamente afortunada o coincidentemente los signos funcionan correctamente y siempre tenemos $\cos (\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$. Contrasta esto con las fórmulas de semiantángulo donde tenemos que preocuparnos por los signos.

8voto

N. F. Taussig Puntos 8718

Un ángulo $\theta$ se dice que está en posición estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial se encuentra en el eje $x$ positivo.

El circulo unitario es el círculo con radio $1$ y centro en el origen del plano coordenado.

Definimos el coseno y el seno de un ángulo en posición estándar como, respectivamente, la coordenada $x$ y la coordenada $y$ del punto donde el lado terminal del ángulo interseca el círculo unitario. Definimos la tangente de un ángulo en posición estándar como la coordenada $y$ del punto donde el lado terminal del ángulo interseca la línea $x = 1$. Ver el diagrama a continuación.

definiciones de funciones trigonométricas

Si $\theta = \arctan x$, entonces $\tan\theta = x$ y $-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}$. Por lo tanto, podemos dibujar un triángulo rectángulo en el primer cuadrante o cuarto cuadrante, como se muestra a continuación.

diagramas de seno del arcotangente de x

Si $x > 0$, dibujamos un triángulo rectángulo en el primer cuadrante con un lado opuesto de longitud $|x| = x$, un lado adyacente de longitud $1$, y una hipotenusa de longitud $\sqrt{1 + x^2}$.

Si $x < 0$, dibujamos un triángulo rectángulo en el cuarto cuadrante con un lado opuesto de longitud $|x| = -x$, un lado adyacente de longitud $1$, y una hipotenusa de longitud $\sqrt{1 + x^2}$.

Si $x = 0$, dibujamos el segmento de línea de $0$ a $1$ en el eje $x$ positivo. El lado opuesto tiene una longitud de $|x| = |0| = 0$, el lado adyacente tiene una longitud de $1$, y la hipotenusa tiene una longitud de $\sqrt{1 + x^2} = \sqrt{1 + 0^2} = \sqrt{1} = 1.

En cada caso, el lado terminal del ángulo interseca la línea $x = 1$ en el punto $(1, x)$ (sí, estoy usando $x$ de dos maneras diferentes aquí), por lo que la tangente del ángulo es $x$.

Encontramos el seno del arcotangente de $x$ dividiendo la coordenada $y$ del punto $(1, x)$ por su distancia al origen. Por lo tanto, en cada caso,

$$\sin[\arctan(x)] = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$$

Nota que como el denominador siempre es positivo, el signo de $\sin[\arctan(x)]$ es igual al signo de $x.

Dado que el numerador de $\sin[\arctan(x)]$ es la coordenada $y$ del punto $(1, x)$ en lugar de la longitud del lado opuesto del ángulo $\theta$, obtenemos el mismo resultado cuando dibujamos el triángulo en el cuarto cuadrante como lo hacemos si lo dibujamos en el primer cuadrante.

6voto

Narasimham Puntos 7596

Dibuja el triángulo rectángulo.

Lado opuesto = x, lado adyacente = 1, hipotenusa= $\sqrt{1+x^2}$, entonces

$$ \sin(...) = \pm \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $$

dos signos debido a $\sqrt .. $

EDIT1

¿Por qué el doble signo? $\pm $ Es fácil de ver. Arctan tiene dos signos. Puede ser $x$ o $x + \pi $ x>0 El seno de este argumento es positivo si está en el primer cuadrante y negativo si está en el tercero. x< 0 El seno de este argumento es negativo si está en el primer cuadrante y positivo si está en el tercero. Mientras simplificamos de ninguna manera hemos descuidado el signo negativo.

2 votos

Esto está mal. La respuesta de N. F. Taussig es correcta.

2voto

Anthony Shaw Puntos 858

Si $-\frac\pi2\lt u\lt\frac\pi2$, entonces $\cos(u)\gt0$. Por lo tanto, si $\tan(u)=x$, entonces $\cos(u)=\frac1{\sqrt{1+x^2}}$.

Así, si $\arctan(x)=u$, entonces $$ \begin\align \sin(u) &=\tan(u)\cos(u)\\ &=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \end\align $$ Además, dado que $\sin(x)$ y $\arctan(x)$ son funciones impares, $$ \sin(\arctan(-x))=-\sin(\arctan(x)) $$

0 votos

Ver el comentario eliminado. :-)

1voto

tugberk Puntos 221

Usar $x$ en $u = \arctan x$ y luego referirse al plano $xy$ hace que $x$ tenga dos significados diferentes.

Intenta $\theta = \arctan t$

Puedes dibujar una imagen de $\theta = \arctan t$ considerando el triángulo debajo con vértices en $(0,0), (1,0), \text{y} \ (1,t)$. El círculo unitario no es necesario. Ten en cuenta que la imagen implica $\sin \theta = \dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}}$, y el signo se maneja correctamente por el signo de $t$. Si tu libro dice lo contrario, entonces está equivocado.

introduce aquí la descripción de la imagen

1voto

S.Cramer Puntos 131

Para agregar información adicional respecto al comentario del usuario 46234, también podemos entender la omisión de un signo $\pm$ como una simple consecuencia del álgebra.

Aquí están las piezas relevantes de información para concluir esto:

  • Por definición, $\sqrt{x^2}=|x|$

  • $\arctan$ es una función estrictamente creciente limitada entre $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$

  • $\arctan(0)=0$

  • $\sin(x) \geq0$ si $x \in [0,\frac{\pi}{2})$ y $\sin(x) \lt 0$ si $x \in (-\frac{\pi}{2},0)$

  • $\cos(x) \gt 0$ si $x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$


Trabajando hacia adelante desde los puntos con viñetas anteriores:

Sea $y=\arctan(x)$. Sabemos que $y \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$. Por definición, $\tan(y)=\tan\circ \arctan(x)=x \implies \frac{\sin(y)}{\cos(y)}=x$

Para simplificar aún más, usamos la identidad pitagórica $\cos^2(y)+\sin^2(y)=1 \implies \cos^2(y)=1-\sin^2(y)$. Tomando la raíz cuadrada de ambos lados obtenemos: $|\cos(y)|=\sqrt{1-\sin^2(y)}$. Notando que $y \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, lo que significa que $\cos(y) \gt 0$... y por lo tanto $|\cos(y)|=\cos(y)$, entonces tenemos que $\cos(y)=\sqrt{1-\sin^2(y)}$.

Luego tenemos que $x=\frac{\sin(y)}{\sqrt{1-\sin^2(y)}}$. Rearreglando y luego elevando al cuadrado obtenemos $\big(1-\sin^2(y)\big)\cdot x^2=\sin^2(y)$. Dado que $x=\tan(y)$, podemos usar la expresión de la tangente de la identidad pitagórica para simplificar aún más: $1+\frac{\sin^2(y)}{\cos^2(y)}=\frac{1}{\cos^2(y)} \implies1+\tan^2(y)=\frac{1}{1-\sin^2(y)} \implies \frac{1}{1+\tan^2(y)}=1-\sin^2(y) \implies\frac{1}{1+x^2}=1-\sin^2(y)$. Notar que para aplicar esta sustitución, necesitamos asegurarnos de que $\cos(y) \neq 0$... sin embargo, dado que $y \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, sabemos que $\cos(y) \neq 0$. Luego podemos aplicar la sustitución relevante que nos da:

$$\frac{x^2}{1+x^2}=\sin^2(y)$$

Tomando la raíz cuadrada de esta expresión obtenemos:

$$\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}}=|\sin(y)| \quad (\dagger_1)$$

Ahora, supongamos que $x \geq 0$. Entonces $y \in [0,\frac{\pi}{2})$. Sabemos que $\sin(y) \geq 0$, por lo que debemos tener que $|x|=x$ y $|\sin(y)|=\sin(y)$. Bajo estas circunstancias, $(\dagger_1)$ es simplemente $\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\sin(y)$.

Luego, supongamos que $x \lt 0$. Entonces $y \in (-\frac{\pi}{2},0)$. Sabemos que $\sin(y) \lt 0$, por lo que debemos tener que $|x|=-x$ y $|\sin(y)|=-\sin(y)$. Bajo estas circunstancias, $(\dagger_1)$ es $\frac{-x}{\sqrt{1+x^2}}=-\sin(y)$, lo cual por supuesto puede reescribirse como $\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\sin(y)$.

Por lo tanto, en todos los casos relevantes, debemos tener que $\sin(\arctan(x))=\sin(y)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

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