Un ángulo $\theta$ se dice que está en posición estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial se encuentra en el eje $x$ positivo.
El circulo unitario es el círculo con radio $1$ y centro en el origen del plano coordenado.
Definimos el coseno y el seno de un ángulo en posición estándar como, respectivamente, la coordenada $x$ y la coordenada $y$ del punto donde el lado terminal del ángulo interseca el círculo unitario. Definimos la tangente de un ángulo en posición estándar como la coordenada $y$ del punto donde el lado terminal del ángulo interseca la línea $x = 1$. Ver el diagrama a continuación.
![definiciones de funciones trigonométricas]()
Si $\theta = \arctan x$, entonces $\tan\theta = x$ y $-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}$. Por lo tanto, podemos dibujar un triángulo rectángulo en el primer cuadrante o cuarto cuadrante, como se muestra a continuación.
![diagramas de seno del arcotangente de x]()
Si $x > 0$, dibujamos un triángulo rectángulo en el primer cuadrante con un lado opuesto de longitud $|x| = x$, un lado adyacente de longitud $1$, y una hipotenusa de longitud $\sqrt{1 + x^2}$.
Si $x < 0$, dibujamos un triángulo rectángulo en el cuarto cuadrante con un lado opuesto de longitud $|x| = -x$, un lado adyacente de longitud $1$, y una hipotenusa de longitud $\sqrt{1 + x^2}$.
Si $x = 0$, dibujamos el segmento de línea de $0$ a $1$ en el eje $x$ positivo. El lado opuesto tiene una longitud de $|x| = |0| = 0$, el lado adyacente tiene una longitud de $1$, y la hipotenusa tiene una longitud de $\sqrt{1 + x^2} = \sqrt{1 + 0^2} = \sqrt{1} = 1.
En cada caso, el lado terminal del ángulo interseca la línea $x = 1$ en el punto $(1, x)$ (sí, estoy usando $x$ de dos maneras diferentes aquí), por lo que la tangente del ángulo es $x$.
Encontramos el seno del arcotangente de $x$ dividiendo la coordenada $y$ del punto $(1, x)$ por su distancia al origen. Por lo tanto, en cada caso,
$$\sin[\arctan(x)] = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$$
Nota que como el denominador siempre es positivo, el signo de $\sin[\arctan(x)]$ es igual al signo de $x.
Dado que el numerador de $\sin[\arctan(x)]$ es la coordenada $y$ del punto $(1, x)$ en lugar de la longitud del lado opuesto del ángulo $\theta$, obtenemos el mismo resultado cuando dibujamos el triángulo en el cuarto cuadrante como lo hacemos si lo dibujamos en el primer cuadrante.
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Cuando $x<0$ y $u\in\left(-\frac{\pi}{2},0\right)$, el seno también es negativo. Pero en ese caso, también tenemos $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}<0$. Así que afortunada o coincidentemente, $\sin (\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ siempre es verdadero. Lo mismo ocurre para $\cos (\arctan x)$, donde nuevamente afortunada o coincidentemente los signos funcionan correctamente y siempre tenemos $\cos (\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$. Contrasta esto con las fórmulas de semiantángulo donde tenemos que preocuparnos por los signos.