¿Qué es el cierre de $(0,1)$$\mathbb{R}_k$?

Question

De FONDO

Vamos $$K := \left\{\frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{Z}_{+}\right\} = \left\{\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots\right\},$$ donde $\mathbb{Z}_{+}$ es el conjunto de todos los enteros positivos.

Vamos $$\mathscr{B}_k = \left\{(a,b) \subseteq \mathbb{R} \mid a, b \in \mathbb{R}, a < b\right\} \cup \left\{(c,d)-K \mid c, d \in \mathbb{N}, c < d\right\}.$$

A continuación, $\mathscr{B}_k$ es una base para una topología en $\mathbb{R}$, y esto se llama la $K$-topología en $\mathbb{R}$ y se denota como a $\mathbb{R}_k$.

Ahora, un subconjunto $C$ del espacio topológico $X$ se dice cerrado si $X - C$ está abierto. El cierre de un conjunto $A$ es el menor conjunto cerrado que contiene a A.

PREGUNTA

¿Qué es el cierre de $(0,1)$$\mathbb{R}_k$?

INTENTO

Esto hubiera sido fácil si el $K$-topología $\mathbb{R}_k$ es más grueso que el estándar de la topología de la $\mathbb{R}_s$. Sin embargo, sabemos que $\mathbb{R}_s \subset \mathbb{R}_k$.

Por lo tanto, estoy seguro de si el cierre de la $\overline{(0,1)}$ $(0,1)$ $\mathbb{R}_k$ aún $[0,1]$ es de $\mathbb{R}_s$.

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Como el estándar de la topología $\mathcal{T}_s \subset \mathcal{T}_K$ tenemos la misma inclusión de conjuntos cerrados así. Por lo $[0,1]$ es cerrado en $\mathbb{R}_K$. (Por lo que el cierre de $(0,1)$ $\mathcal{T}_K$ todavía es un subconjunto de a $[0,1]$.)

Tan solo necesitamos comprobar que $0$ $1$ son todavía límite de puntos de $(0,1)$ en las grandes topología $\mathcal{T}_K$. El único punto que tiene un conjunto diferente de los barrios (en comparación con el estándar de la topología) es $0$ $(a,b) - K$ está abierto en la misma, para los intervalos de con $0 \in (c,d)$.

Cómo $\mathcal{T}_K$ fue construido: Tenemos un no-conjunto cerrado $K$, e $\mathbb{R}_K$ es los reales con los más pequeños de la topología más grande que el habitual ,de tal manera que $K$ es cerrado en el más grande de la topología. Antes de $0$ era el único punto en $\overline{A} - A$, por lo que sólo los barrios en $0$ necesidad de cambio: cortamos $K$, de modo que hay un montón de bloques abiertos que contienen a$0$, pero no se cruzan $K$ más, como $(-1,1)-K$. Pero todos los $(c,d) - K$ donde $0 \in (c,d)$ todavía se cruza con $(0,1)$ (dicen en algunos $\frac{\sqrt{2}}{n} \in (0,1)-K \subseteq (0,1)$ ,lo $0 \in \overline{(0,1)}$ y lo mismo vale para los barrios de $1$ ; son más que el viejo abrir intervalos esencialmente, por lo $1 \in \overline{(0,1)}$.

Por lo que el cierre es, como antes, $[0,1]$. Alternativamente muestran que $\frac{\sqrt{2}}{n} \to 0$$1-\frac{\sqrt{2}}{n} \to 1$$\mathcal{T}_K$, por lo que el $0,1 \in \overline{(0,1)}$ y el uso, como antes, que $[0,1]$ ya está cerrado.

Answer 2

Sí estás en lo correcto.

El cierre de un conjunto $A$ es el conjunto que consta de todos los elementos de a $A$ y todo el límite de puntos de $A$

Y también se $cl(A)=\{B|B \supset A,B$cerrado $\}$

Cada elemento en $(0,1)$ es un punto límite de $(0,1)$ $\{0,1\}$ límite de puntos de $(0,1)$ en esta topología, porque cada abierto neighbourhoud de $0$ $1$ debe contener puntos de $(0,1)$ diferente de la $0$ $1$ respectivamente.

También cada punto de $x<0$ $y>1$ no es un punto límite de $(0,1)$.Usted puede comprobar esto,por ejemplo para un $y>1$ por la búsqueda de un intervalo de $(a,b)$ que no se cruzan $(0,1)$.Hacer lo mismo para $x<0$

Tenga en cuenta que $[0,1]^c= (- \infty ,0) \cup (1, +\infty)$ y $$(- \infty ,0)= \bigcup_{n=1}^{\infty}(-n,0)$$ $$(1,+ \infty)= \bigcup_{n=2}^{+\infty}(1,n)$$

Así que el complemento de $[0,1]$ puede ser escrito como una unión de elementos de la base, por lo que es abierto con respecto a la topología generada por la misma. por lo tanto $[0,1]$ es cerrado.

Ahora cierre de $(0,1)$ en esta topología es $[0,1]$

De hecho, $cl[0,1] \subseteq [0,1]$ debido a que el cierre es el smalest conjunto que contiene a $(0,1)$ $[0,1]$ está cerrada y contiene $(0,1)$

También cada punto límite de $(0,1)$ es en su cierre, por lo $[0,1] \subseteq cl((0,1))$

Por lo tanto $[0,1]=cl((0,1))$