Una función convexa $f$ puede ser representado como el supremum de todos los afín a las funciones que están dominados por $f$. Hay una simple caracterización de esas funciones convexas $g$ que puede ser representado como el supremum de todos los lineales de las funciones que están dominados por $g$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Suponiendo que estamos hablando de las funciones de$\Bbb R$$\Bbb R$, la función de $g$ tiene esta propiedad, si y sólo si no existe$a,b$$a\ge b$$g=g_{a,b}$, donde $$g_{a,b}(t)=\begin{cases}at&(t\ge0), \\bt&(t<0).\end{casos}$$
Es claro que cada una de dichas $g_{a,b}$ es el sup de una familia de funciones lineales. Por el contrario, decir $g$ es convexo y $g$ es el sup de una familia $F$ de funciones lineales. Deje $L_a(t)=at$. Existe $S\subset\Bbb R$ tal que $$F=\{L_a:a\in S\}.$$Hence $$g(t)=\sup_{f\in F}f(t)=g_{\alpha,\beta}(t),$$where $\alpha=\sup S$ and $\beta=\inf S$.
(Tenga en cuenta que nunca hemos utilizado el supuesto de que $g$ es convexa. Esto tiene sentido: Es claro que el sup de cualquier familia de funciones lineales es convexo...)
Edit: De hecho, $g:\Bbb R^n\to\Bbb R$ es el supremum de una familia de funciones lineales si y sólo si $g$ es convexo y $$g(tx)=tg(x)\quad(t\ge 0).$$
De nuevo, es claro que el sup de una familia de funciones lineales tiene esta forma. Supongamos por el contrario que $g$ es convexo y tiene que la homogeneidad de la propiedad. Sabemos que $g$ es el sup de una familia afín a las funciones. Así que la siguiente muestra que $g$ es el sup de una familia de funciones lineales:
Supongamos $A$ es afín; escribir $A=\alpha+L$ donde $\alpha\in\Bbb R$ $L$ es lineal. A continuación, $A\le g$ si y sólo si $\alpha\le0$$L\le g$.
Prueba: Supongamos primero que $\alpha\le 0$$L\le g$. Desde $A\le L$ es claro que $A\le g$.
Por el contrario, supongamos $A\le g$. A continuación,$\alpha=A(0)\le g(0)=0$, y para $t>0$ hemos $$\alpha+tL(x)\le g(tx)=tg(x).$$So $\alfa/t+L\le g$; let $t\to\infty$ and it follows that $L\le g$
Edit 2: Esto es en respuesta a un comentario, no encajan muy bien en el cuadro de comentario. Se dice que una función convexa en $\Bbb R^n$ no necesita ser continua. A mí me parece que sí es continua:
Nota que me estoy tomando convexa de la función de valor real, como yo pensaba que era lo normal. Si permitimos que las funciones convexas para tomar los valores en $(-\infty,\infty]$, entonces sí, sin duda hay discontinuo de las funciones convexas en $\Bbb R^n$.
Heh, la prueba de que es estándar para tomar el "valor real" como parte de la definición: Un estándar resultado dice que cualquier función convexa en $\Bbb R$ es continua..
Lema Si $f$ es convexa en a $\Bbb R^n$ $f$ está delimitado por encima en conjuntos compactos.
Prueba: Dado $K$ compact existen $x_1,\dots,x_{n+1}$ tal que $K$ está contenida en el casco convexo de la $x_j$ lo $f\le\max(f(x_j))$$K$.
Ahora supongamos que $f$ es convexa en a $\Bbb R^n$. Elija $c$, de modo que $f(x)\le c$$|x|\le 10$.
Supongamos $t=|y|< 1$. Existe $z$ $|z|=1$ tal que $y=tz=(1-t)0+tz$.Por lo tanto $$f(y)\le tf(z)+(1-t)f(0)\le ct+(1-t)f(0).$$Now $t\to0$ as $y\to0$, so $$f(0)\ge\limsup_{y\to0}f(y).$$For the other direction, say $\alpha=\limsup_{y\to0}f(y)$. Say $y_j\to0$, $f(y_j)\to\alpha$. Let $z_j=-y_j/|y_j|$. Then $0$ is a convex combination of $y_j$ and $z_j$: $$0=t_jz_j+(1-t_j)y_j.$$In particular, $t_j=|(1-t_j)y_j|\to0$. Así $$f(0)\le ct_j+(1-t_j)f(y_j)\to\alpha.$$So $$\limsup_{y\to0}f(y)\le f(0)\le\liminf_{y\to0}f(y),$$hence $\lim_{y\to0}f(y)=f(0).$
dohmatob
Puntos
1195
Por el Fenchel-Moreau (aka Biconjugate) Teorema, todos de menor semicontinuo convexo funnctions en un Hausdorff localmente convexo de un espacio que puede ser representado como un supremum de afín a las funciones de
De hecho, para tales funciones, uno ha $f^{**} = f$, yo.e
$$ f(x) \equiv \sup_{y}x^Ty - f^*(y), $$ un supremum de afín funciones.
