Cual de estas dos formas de tomar la derivada de una función delta de veces otra función es la correcta?

Question

Una identidad bien conocida de la función delta de Dirac es que para cualquier función de $f(x)$: $$ \delta(x) f(x) = \delta(x) f(0). $$ Si tomamos la derivada del lado derecho obtenemos: $$ \delta'(x) f(0). $$ Pero si tomamos la derivada de la parte izquierda tenemos $$ \delta'(x) f(x) + \delta(x) f'(x) = \delta'(x) f(0) + \delta(x) f'(0) $$ Cuál es la correcta?

P. S. sé que este problema tiene algo que ver con el hecho de que la función delta no es realmente una función, sino una generalización de la función. Sin embargo, la función delta y sus derivados son útiles en los cálculos (especialmente en la física), y quiero saber las normas correctas para el uso de ellos.

Answer 1

Cualquier distribución $T$ puede ser multiplicado con un $C^{\infty}$-función de $f$ por la fórmula $$ (f T)(\varphi) = T(f\varphi) $$ for a test function $\varphi$. And if $T$ has order $0$ like the $\delta$-distribution, $f$ may be a $C^0$-function. And in this sense, the identity $$ f\delta = f(0) \delta$$ es perfectamente cierto.

La aplicación de esta multiplicación a su lado izquierdo, usted tiene
$$ (f'\delta)(\varphi) + (f\delta')(\varphi) = \delta(f'\varphi) + \delta (-(f\varphi)') = \delta (-f\varphi') = f(0) \delta' (\varphi),$$ your right hand side. So you were perfectly right, you just need to interpret the expression $f\delta'$ correctamente como $$ f\delta' = f(0) \delta' - f'(0) \delta.$$

Answer 2

OK yo creo saber la respuesta a mi propia pregunta, y que puedo ponerlo en términos simples, sin llegar a tanto en la formación matemática de funciones delta. Mi error fue que yo pensaba que el de manera similar a esta identidad: $$ \delta(x) f(x) = \delta(x) f(0), $$ lo cual es correcto, la siguiente identidad también es cierto: $$ \delta'(x) f(x) = \delta'(x) f(0), $$ pero esto es incorrecto.
La identidad correcta es: $$ \delta'(x) f(x) = \delta'(x) f(0) - \delta(x) f'(0). $$ Si yo uso esta identidad al comparar los dos resultados en la pregunta de que resultan ser el mismo significado en ambos sentidos de tomar la derivada son correctos.
De hecho, la derivación en la pregunta es una prueba de esta identidad.
Por CIERTO que es una generalización de la conocida identidad: $\delta'(x) x = -\delta(x)$

Answer 3

Debe definir el delta en un espacio de funciones de prueba. Así,

$$\int_{-\infty}^\infty \delta'(x)f(x) \,dx =\left.\delta(x)f(x)\right|_{-\infty}^\infty-\int_{-\infty}^\infty \delta(x)f'(x)\,dx =-f'(0)$$

después de la integración por partes y donde se ha hecho uso de el hecho de que la función de prueba de $f(x)$ va lo suficientemente rápido a 0 en $\pm\infty$. Las modificaciones en la distribución sólo son significativos en este sentido.

Answer 4

La forma en que se escribió la primera ecuación es muy engañoso y parece que causó la confusión. Yo prefiero escribir $\delta(f)=f(0)$. La correcta formularios para la derivada de $\delta$ es la siguiente $$ \delta'(f)=-f'(0). $$ Para una explicación, consulte aquí.