Dado un grado de $d$, es posible construir un par $(F,\delta),$ $F$ ¿Dónde está un polinomio en $\mathbb{Z}[X]$ y $\delta$ un cero entero, que $F(X)$ y $F(X)+\delta$ ambos divididos en factores lineares sobre $\mathbb{Z}[X]$?
Esto es fácil para $d=2$, como se muestra por el par $F(X)=X^2$ y $\delta=-a^2$ (para un número entero arbitrario $a$). De hecho, $F(X)=X \cdot X$ y $F(X)+\delta=(X-a)\cdot (X+a).$ ¿qué puede decirse de $d>2$?
Esta cuestión está estrechamente relacionada con la Prouhet-Quédate-Escott problema.
El llamado ideal solución para PTE le pide dos distintos conjuntos de números enteros $A$$B$$|A|=|B|=d$, de tal manera que para todos los $k$$1\leq k\leq (d-1)$, tenemos $$\sum_{a\in A} a^k = \sum_{b\in B} b^k$$ Es fácil ver que estas igualdades implica que todos los simétrica polinomios de grado a a $(d-1)$ que se aplica a los miembros de $A$ $B$ tienen valores idénticos. Por lo tanto, la diferencia de $$P_A=\prod_{a\in A}(x-a)$$ and $$P_B=\prod_{b\in B}(x-b)$$ debe ser (no-cero) constante, haciendo que el par $(P_A, P_B-P_A)$ una solución a esta cuestión de grado $d$.
Al menos un ideal PTE solución es conocida por $d\leq 10$$d=12$; entre los ejemplos se pueden encontrar en esta página. Aunque la página está un poco envejecido, creo que no hay solución de grado superior, se ha descubierto posteriormente, ni el $n=11$ de los casos se han resuelto. Además, que yo sepa, no hay ninguna razón para creer que hay algún límite superior en $d$ después de que no se pueden encontrar soluciones; a pesar de que la búsqueda es sin duda llegar mucho más difícil con el aumento de la $d$.
La principal diferencia entre el PTE y el problema es que esta permite a los no-monic polinomios y también repitió las raíces de los polinomios. Por lo tanto esta pregunta admite soluciones que no serían soluciones de PTE; por ejemplo, la que aparece en el enunciado del problema.
No pude resistir la tentación de ver el grado-$12$ solución con mis propios ojos (de la web enlazada en Pedro Košinár la respuesta). Se trata de $$F(X)=X^{12} - 1812X^{11} + 1434735X^{10} - 651551410X^9 + 187228503603X^8 - 35425220352696X^7 +
4450555420480105X^6 - 365361907449541290X^5 + 18776316466170261396X^4 -
556138149602905800792X^3 + 8118307377660639252960X^2 - 42308199268401215635200X$$ where $$\delta=67440294559676054016000.$$
Aquí tanto $F(X)$ $F(X)+\delta$ son monic y squarefree, y las raíces de $F(X)$
$$0, 11, 24, 65, 90, 129, 173, 212, 237, 278, 291, 302$$
mientras que las raíces de $F(X)+\delta$
$$3, 5, 30, 57, 104, 116, 186, 198, 245, 272, 297, 299.$$
Después de escribir esto, puedo ver por qué el PTE de la comunidad se centra en las raíces en lugar de los polinomios...
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